Zweiseitige Laplace-Transformation

In der Mathematik bezeichnet man mit der zweiseitigen Laplace-Transformation eine Integraltransformation, die nahe verwandt mit der gewöhnlichen, zur Unterscheidung manchmal auch einseitig genannten, Laplace-Transformation ist.

Definition

Für eine reell- oder komplexwertige Funktion $f(t)$ einer reellen Variable $t$ ist die zweiseitige Laplace-Transformation für alle komplexen Zahlen $s$ durch das Integral

$ℬ\{f(t)\}=F(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-st}f(t)\mathrm{d}t$

definiert.

Der Unterschied zur gewöhnlichen Laplace-Transformation ist die Integration von $-\mathrm{\infty }$ bis $\mathrm{\infty }$ statt über $(0,\mathrm{\infty })$.

In der Systemtheorie spielt die zweiseitige Laplace-Transformation, im Gegensatz zur gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation, nur eine untergeordnete Rolle. Der Grund liegt darin, dass sich in der Physik und Technik ausschließlich auftretende kausale Systeme mit der einseitigen Laplace-Transformation beschreiben lassen. Bei der theoretischen Analyse von nichtkausalen Systemen, dies sind Systeme, die eine Wirkung vor der auslösenden Ursache zeigen, ist die zweiseitige Laplace-Transformation zu verwenden, welche, in Abhängigkeit von der Funktion $f(t)$, für $t\to -\mathrm{\infty }$ schlechtes Konvergenzverhalten aufweist. Für kausale Systeme ist das Ergebnis der zweiseitigen Laplace-Transformation identisch zu der gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation. Die zweiseitige Laplace-Transformation tritt außerdem in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei momenterzeugenden Funktionen auf.

Zusammenhang

Mit der Heaviside-Funktion $ϵ(t)$ lässt sich die zweiseitige mit der einseitigen Laplace-Transformation $ℒ\{\cdot \}$ in folgenden Zusammenhang setzen:

$ℒ\{f(t)\}=ℬ\{f(t)ϵ(t)\}$

Dazu gleichwertig besteht zwischen den beiden Transformationen folgender Zusammenhang:

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℒf(t)\}(s)+\{ℒf(-t)\}(-s)$

Mit der Mellin-Transformation $ℳ\{\cdot \}$ besteht folgender Zusammenhang:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-t})\}(s)$

und der inversen Beziehung:

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln t)\}(s)$

Literatur

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