Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die beiden Zustandsgleichungen nach Murnaghan und nach Birch (benannt nach Francis Murnaghan und Albert Francis Birch) beschreiben die Beziehung zwischen dem Volumen $V$ eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Druck $p$.

Zustandsgleichung nach Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Murnaghan lautet:

$p=\frac{K_0}{{K_0}^{\prime }}[{\left(\frac{V_0}{V}\right)}^{{K_0}^{\prime }}-1]$

$\iff V=V_0\cdot {[\frac{{K_0}^{\prime }}{K_0}p+1]}^{-\frac{1}{{K_0}^{\prime }}}$

mit

• dem Volumen $V_0$ des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa
• dem Kompressionsmodul $K_0$ bei einem Druck von 0 GPa:

$K_0=-V{\frac{\partial p}{\partial V}|}_{p=0\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a}}$

• der ersten Ableitung ${K_0}^{\prime }$ des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa:

${K_0}^{\prime }={\frac{\partial K}{\partial p}|}_{p=0\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a}}$.

Man erhält diese Zustandsgleichung, wenn man Murnaghans folgende Annahmen integriert:

• der Kompressionsmodul eines Festkörpers nimmt linear zu mit dem auf ihn wirkenden Druck:

$K(p)=K_0+p{K_0}^{\prime }$

• die Größe ${K_0}^{\prime }$ hängt nicht vom Druck ab.

Zustandsgleichung nach Birch(-Murnaghan)

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck $p$ und der freien Energie $F$ besteht:

$p={\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_T$

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

$F=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{ϵ}^n$

Hier sind

• $a_n$ druckabhängige Koeffizienten
• ${ϵ}^n$ ist die Eulersche Dehnung.

$ϵ=\frac{1}{2}[1-{\left(\frac{V}{V_0}\right)}^{-\frac{2}{3}}]$

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man die Zustandsgleichung nach Birch:

$p=\frac{3}{2}{K}_0[{\left(\frac{V}{V_0}\right)}^{-\frac{7}{3}}-{\left(\frac{V}{V_0}\right)}^{-\frac{5}{3}}][1+\frac{3}{4}({K_0}^{\prime }-1)[{\left(\frac{V}{V_0}\right)}^{-\frac{2}{3}}-1]]$

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

• F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
• B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)