Zimmer-Vermutung

Die Zimmer-Vermutung ist eine 1983 von Robert Zimmer aufgestellte Vermutung aus der Mathematik. Sie kann als „nichtlineare“ Version des Superstarrheitssatzes von Margulis angesehen werden.

Sei $\mathrm{\Gamma }$ ein Gitter in einer Lie-Gruppe vom Rang $r\ge 2$. Margulis‘ Superstarrheitssatz besagt, dass lineare Darstellungen von $\mathrm{\Gamma }$ entweder Einschränkungen von Darstellungen von $G$ sind oder endliches Bild haben. Die Zimmer-Vermutung ist eine analoge Vermutung für Gruppenwirkungen auf Mannigfaltigkeiten. Sie besagt, dass eine Wirkung von $\mathrm{\Gamma }$ auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension höchstens $r-1$ über die Wirkung einer endlichen Gruppe faktorisieren muss. Insbesondere besagt sie für Gitter in der speziellen linearen Gruppe $SL(n,ℝ)$, dass Wirkungen auf Mannigfaltigkeiten der Dimension höchstens $n-2$ über die Wirkung einer endlichen Gruppe faktorisieren.

Für $n=3$, also Wirkungen von Gittern $\mathrm{\Gamma }\subset SL(3,ℝ)$ auf dem Kreis, ist aus Arbeiten von Witte, Ghys und Burger-Monod bekannt, dass solche Wirkungen einen globalen Fixpunkt haben.

Für kokompakte Gitter in $SL(n,ℝ)$ und auch für $SL(n,\mathbb{Z})$ haben Brown-Fisher-Hurtado die Zimmer-Vermutung für $C^2$-Wirkungen bewiesen.

Weblinks

• D. Fisher: Recent progress in the Zimmer program