Zentrierte Dreieckszahl

19 Kugeln in Form ineinandergeschachtelter Dreiecke

Eine zentrierte Dreieckszahl ist eine Zahl, die sich nach der Formel

$\frac{3n^2-3n+2}{2}$

aus einer natürlichen Zahl $n$ berechnen lässt. Die ersten zentrierten Dreieckszahlen sind

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, … (Vorlage:OEIS)

Die zentrierten Dreieckszahlen gehören wie die zentrierten Quadratzahlen sowie die zentrierten Fünf- und Sechseckszahlen zu den zentrierten Polygonalzahlen, also zu den ebenen figurierten Zahlen.

Die zentrierten Dreieckszahlen beziffern nämlich die Anzahl von Steinchen, um ein Dreieck nach folgender Vorschrift zu legen: Es befindet sich ein Steinchen im Zentrum und um dieses werden in dreiecksförmigen Schichten mit steigender Seitenlänge weitere Steinchen angeordnet. Die Anzahl der Steinchen in einer solchen Anordnung mit $n$ Schichten wird als $(n+1)$-te zentrierte Dreieckszahl bezeichnet.

Für $n\ge 3$ lässt sich jede zentrierte Dreieckszahl als die Summe dreier aufeinanderfolgender normaler Dreieckszahlen ${\mathrm{\Delta }}_{n-2}+{\mathrm{\Delta }}_{n-1}+{\mathrm{\Delta }}_n$ darstellen. Des Weiteren gilt, dass eine Ganzzahldivision einer beliebigen zentrierten Dreieckszahl $Z{D}_n$ durch 3 immer den Rest 1 ergibt und als Quotient die vorhergehende Dreieckszahl ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}$.

Die Summe der ersten n zentrierten Dreieckszahlen (n ≥ 3) ergibt die magische Konstante (Zeilensumme) eines magischen Quadrates der Zahlen 1 bis n².

Unendliche Summen und Produkte

Die unendliche Summe der Kehrwerte der zentrierten Dreieckszahlen ergibt diesen Wert:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{Z{D}_n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{3n^2-3n+2}=\frac{2}{\sqrt{15}}\pi \tanh \left(\frac{1}{6}\sqrt{15}\pi \right)$

Das unendliche Produkt von den Quotienten der verdoppelten zentrierten Dreieckszahlen dividiert durch die zentrierten Sechseckszahlen an denselben Positionen ergibt jenen Wert:

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2Z{D}_n}{Z{S}_n}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3n^2-3n+2}{3n^2-3n+1}=\mathrm{sech}\left(\frac{1}{6}\sqrt{3}\pi \right)\cosh \left(\frac{1}{6}\sqrt{15}\pi \right)$

Zentrierte Dreiecksprimzahlen

Eine zentrierte Dreieckszahl, die eine Primzahl ist, wird als zentrierte Dreiecksprimzahl bezeichnet. Die ersten zentrierten Dreiecksprimzahlen lauten:

19, 31, 109, 199, 409, … (Vorlage:OEIS)

Siehe auch

• Polygonalzahl

Literatur

• Lancelot Hogben: Mathematik für alle. Eine Einführung in die Wissenschaft der Zahlen und Figuren. Neu überarbeitete Ausgabe. Pawlak, Herrsching 1985, ISBN 3-88199-208-1, S. 151 ff.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld