Zeltabbildung

Die Zeltabbildung $T_2$ ist eine mathematische Funktion mit dem Definitions- und Wertebereich $[0,1]$. Sie ist eine der einfachsten Funktionen, mit deren Hilfe sich die chaotische Dynamik nichtlinearer deterministischer Abbildungen untersuchen und insbesondere die Kernaussage des Schmetterlingseffekts verifizieren lässt, dass beliebig kleine Änderungen in den Anfangsparametern große Auswirkungen haben können.

Definition und Eigenschaften

Grafische Darstellung der Zeltabbildung $T_2$.

Die Zeltabbildung ist definiert durch:

$T_2:[0,1]\to [0,1],x\mapsto \{\begin{array}{cc}2x,& \text{wenn }x\in [0,\frac{1}{2}]\\ 2-2x,& \text{wenn }x\in ]\frac{1}{2},1]\end{array}$

Fixpunkte und periodische Punkte

Für $x\in \{0,\frac{2}{3}\}$ bildet die Funktion den Eingabewert auf sich selbst ab. Des Weiteren ergibt sich aus der Struktur der Funktion, dass alle $x_0\in ℝ$, die sich als $x_0=\frac{a}{2^n}$ mit $a\in \{0,1,\dots ,2^n\}$ darstellen lassen, nach spätestens $n+1$ Iterationen den Fixpunkt $0$ erreichen. Außerdem gibt es für jedes $n\in \mathbb{N}$ periodische Punkte $x_n$ mit der Primperiode $n$, bei denen die $n$-fach wiederholte Anwendung von $T_2$ zum Anfangswert $x_n$ führt

$x_n\in \{\begin{array}{cc}\{0,\frac{2}{3}\},& \text{wenn }n=1\\ \{\frac{2}{5},\frac{4}{5}\},& \text{wenn }n=2\\ \{\frac{2}{9},\frac{2}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{7},\frac{6}{7},\frac{8}{9}\},& \text{wenn }n=3\\ \{\dots \},& \text{wenn }n\in \mathbb{N}\end{array}$

Demonstration des Schmetterlingseffekts

Wendet man die Zeltabbildung $T_2(x)$ $n$-fach hintereinander auf einen Anfangswert $x_0$ an, erhält man eine neue Abbildung $F_{x_0}$:

$F_{x_0}:\mathbb{N}\to [0,1],n\mapsto T_2^n(x_0)$

Differenz der Werte von $F_x(n)$ für $x_0=0,506$ und $x_0=0,506127$ aufgetragen gegen die Anzahl der Iterationen $n$. Schon nach wenigen Iterationen ist die Differenz der Ausgangszustände praktisch nicht mehr durch eine störungstheoretische Betrachtung des kleinen Unterschieds im Anfangswert vorhersagbar.

Vergleicht man die Werte von $F_x(n)$ für zwei beliebig nahe beieinander liegende $x$, findet man bei hinreichend großen $n$ innerhalb des Wertebereiches beliebig große Differenzen im Intervall $(0,1)$.

Siehe auch

• Dreiecksfunktion

Weblink

• Lehrmaterial zur Zeltabbildung von der Uni Mainz, abgerufen am 17. Juli 2018