Dreiecksfunktion

Dreiecksfunktion

Die Dreiecksfunktion, auch tri-Funktion, triangle-Funktion oder tent-Funktion, ist eine mathematische Funktion mit folgender Definition:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\wedge (t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\max (1-|t|,0)\\ & =\{\begin{array}{cc}1-|t|,& |t|<1\\ 0,& \text{ansonsten}\end{array}\end{array}$.

Sie kann dazu gleichwertig auch als Faltung der Rechteckfunktion $\mathrm{rect}$ mit sich selbst definiert werden, wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t-\tau )d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau -t)d\tau \end{array}$.

Faltung zweier Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion

Durch einen Parameter $a\ne 0$ kann die Dreiecksfunktion skaliert werden:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t/a)& =\{\begin{array}{cc}1-|t/a|,& |t|<|a|\\ 0,& \text{ansonsten}.\end{array}\end{array}$

Die Dreiecksfunktion findet vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen Anwendung. Sie dient dort neben der Gauß-Funktion, der Heaviside-Funktion und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen. Technische Anwendungen liegen im Bereich von Optimalfiltern oder bei Fensterfunktionen wie dem Bartlett-Fenster.

Die Fourier-Transformation der Dreiecksfunktion ergibt die quadrierte si-Funktion:

$\begin{array}{cc}ℱ\{\mathrm{tri}(t)\}& ={\mathrm{s}\mathrm{i}}^2(\pi f).\end{array}$

Allgemeine Form

Im Allgemeinen möchte man die Dreiecksfunktion skalieren. Von Interesse sind hierbei die Streckung in x-Richtung sowie die Höhe an der Spitze. Für die Streckung ist $T$ die halbe Periodendauer, also die Distanz vom Beginn der Dreiecksfunktion bis zum Mittelpunkt $t_0$. Die Höhe an der Stelle $t_0$ ist durch

$a\cdot \mathrm{tri}\left(\frac{t-t_0}{T}\right)$

gegeben.

Ableitung

Die Ableitung der Dreiecksfunktion stellt eine Summe von zwei Rechteckfunktionen $\mathrm{rect}$ dar:

$\frac{a}{T}(\mathrm{rect}\left(\frac{t-(t_0-T/2)}{T}\right)-\mathrm{rect}\left(\frac{t-(t_0+T/2)}{T}\right))$

welche sich auch als Summe von drei Sprungfunktionen $ϵ$ darstellen lassen:

$\frac{a}{T}(\mathrm{ϵ}(t-(t_0-T))-2\mathrm{ϵ}(t-t_0)+\mathrm{ϵ}(t-(t_0+T))),$

wobei $2T$ die Periodendauer, $t_0$ den Mittelpunkt und $a$ die Höhe der Dreiecksfunktion darstellen. Der Vorfaktor $\frac{a}{T}$ tritt daher als Steigung der Dreiecksfunktion in der Ableitung auf.

Dreieckschwingung

Eine Dreieckschwingung ist im Gegensatz zur hier dargestellten Dreiecksfunktion eine periodische Funktion, die sich durch periodische Fortsetzung des Intervalls $[-1,1]$ ergibt, im Allgemeinen ergänzt um einen konstanten Offset. Eine Dreieckschwingung im engeren Sinne enthält keinen Gleichanteil, die Minima und Maxima sind also dem Betrage nach gleich.

Die Funktion

$\mathrm{\Delta }(t)=2a\cdot |\max (1-((2f\cdot t)mod2),-1)|-a$

bzw. die Fourierreihe

$\frac{8a}{{\pi }^2}\cdot \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos ((2n-1)\cdot \omega \cdot t)}{(2n-1{)}^2}$

omega mit $a$ für die Amplitude und $\omega$ für die Kreisfrequenz erzeugt ein kontinuierliches Dreieckssignal.

Verallgemeinert und mit der Sinusgrundfunktion der Form

$a(t)=\hat{a}\cdot \sin (\omega t+\phi )$

in Einklang gebracht folgt:

$\mathrm{\Delta }(t)=2a\cdot |\max (1-((2f\cdot (t-T\frac{2\phi +\pi }{4\pi })mod2)),-1)|-a$.

Quelle

• Vorlage:Literatur