Wesentlich surjektiver Funktor

Ein wesentlich surjektiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Definition

Ein Funktor $F:𝒞\to 𝒟$ zwischen zwei Kategorien $𝒞$ und $𝒟$ heißt wesentlich surjektiv (oder dicht), falls zu jedem Objekt $D$ in $𝒟$ ein Objekt $C$ in $𝒞$ existiert, so dass $F(C)$ isomorph ist zu $D$.

Beispiele

• Jede Äquivalenz von Kategorien liefert einen wesentlich surjektiven Funktor, denn ein Funktor ist genau dann eine Äquivalenz, wenn er volltreu und wesentlich surjektiv ist.
• Umgekehrt lässt sich die wesentliche Surjektivität auch durch Äquivalenz charakterisieren: Ein Funktor $F:𝒞\to 𝒟$ ist genau dann wesentlich surjektiv, wenn die vom Bild der Objekte in $𝒞$ erzeugte volle Unterkategorie von $𝒟$ äquivalent zu $𝒟$ ist.
• Ist $K$ ein Körper, $𝒞$ die Kategorie der Vektorräume $K^n$ (im Sinne der $n$-fachen direkten Summe), $n$ Kardinalzahl, und $𝒟$ die Kategorie aller $K$-Vektorräume, so ist die Einbettung $𝒞\to 𝒟$ wesentlich surjektiv, denn nach Ergebnissen der linearen Algebra ist jeder $K$-Vektorraum isomorph zu einem $K^n$.
• Ist $K$ der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen, $𝒟$ die Kategorie der Hilberträume über $K$ mit den isometrischen Isomorphismen und $𝒞$ die Kategorie der Mengen mit den bijektiven Abbildungen, so ist nach dem Satz von Fischer-Riesz der Funktor ${\ell }^2:𝒞\to 𝒟$ wesentlich surjektiv.