Weierstraßscher Vorbereitungssatz

Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Nullstellen konvergenter Potenzreihen und Weierstraß-Polynomen her.

Einführung und Formulierung des Satzes

Es bezeichne ${}_n𝒪$ den Ring der konvergenten Potenzreihen um 0 in $n$ Veränderlichen; dieser Ring ist kanonisch isomorph zum Ring der Keime holomorpher Funktionen in $n$ Veränderlichen um den Nullpunkt.

Ein $f\in {}_n𝒪$ ist genau dann eine Einheit des Rings ${}_n𝒪$, d. h. in dem Ring invertierbar, wenn $f(0,\dots ,0)\ne 0$ ist, was wiederum bedeutet, dass der konstante Term der Potenzreihe von Null verschieden ist.

Jedes $f\in {}_{n-1}𝒪$ kann mittels der Festlegung $f(z_1,\dots ,z_n):=f(z_1,\dots ,z_{n-1})$ als Element von ${}_n𝒪$ aufgefasst werden; hiermit wird der Ring ${}_{n-1}𝒪$ zu einem Unterring von ${}_n𝒪$. Auch der Polynomring ${}_{n-1}𝒪[z_n]$ ist dann ein Unterring von ${}_n𝒪$. Wenn im Kontext des Weierstraßschen Vorbereitungssatzes von Polynomgrad oder Grad gesprochen wird, dann ist der Grad von Elementen aus ${}_{n-1}𝒪[z_n]$ als Polynome in $z_n$ gemeint.

Ein Weierstraß-Polynom ist ein Element aus ${}_{n-1}𝒪[z_n]$ der Form

$z_n^m+a_{m-1}(z_1,\dots ,z_{n-1})\cdot z_n^{m-1}+\dots +a_1(z_1,\dots ,z_{n-1})\cdot z_n+a_0(z_1,\dots ,z_{n-1})$

mit konvergenten Potenzreihen $a_0,a_1,\dots ,a_{m-1}\in {}_{n-1}𝒪$, die in 0 verschwinden, d. h. mit $a_i(0,\dots ,0)=0$.

Eine Potenzreihe $f\in {}_n𝒪$ heißt in $z_n$ regulär, falls die holomorphe Funktion $z\mapsto f(0,\dots ,0,z)$ nicht die Nullfunktion ist, und in $z_n$ regulär von der Ordnung $m$, falls die Funktion $z\mapsto f(0,\dots ,0,z)$ in 0 eine Nullstelle der Ordnung $m$ hat.

Mit diesen Begriffsbildungen gilt der folgende Satz, genannt Weierstraßscher Vorbereitungssatz.

Sei $f\in {}_n𝒪$ eine konvergente Potenzreihe, die in $z_n$ regulär von der Ordnung $m$ ist. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Weierstraß-Polynom $h\in {}_{n-1}𝒪[z_n]$ vom Grad $m$ und eine eindeutig bestimmte Einheit $u\in {}_n𝒪$ mit $f=u\cdot h$.

Beweisidee

$f$ konvergiert auf einem geeigneten Polykreis $\mathrm{\Delta }(0;r_1,\dots ,r_n)$. Da $f$ in $z_n$ regulär von der Ordnung $m$ ist, findet man $0<{\delta }_j<r_j$, so dass die Funktion$z_n\mapsto f(z_1,\dots ,z_{n-1},z_n)$ für jedes feste $(z_1,\dots ,z_{n-1})\in \mathrm{\Delta }(0;{\delta }_1,\dots ,{\delta }_{n-1})$ genau $m$ Nullstellen im Kreis $\mathrm{\Delta }(0;{\delta }_n)$ hat. Diese seien mit ${\phi }_1(z_1,\dots ,z_{n-1}),\dots ,{\phi }_m(z_1,\dots ,z_{n-1})$ bezeichnet, wobei für Mehrfachnullstellen Wiederholungen auftreten. Multipliziert man

$h(z_1,\dots ,z_n):=\prod _{k=1}^m(z_n-{\phi }_k(z_1,\dots ,z_{n-1}))$

aus, so erhält man ein Weierstraß-Polynom, das das Verlangte leistet.

Bemerkung

Der Name Vorbereitungssatz rührt daher, dass die Potenzreihe für die Untersuchung ihrer Nullstellen vorbereitet wird. Da der Faktor $u$ als Einheit in einer Umgebung von 0 nicht verschwindet, sind die Nullstellen in einer solchen Umgebung dieselben wie die des Weierstraß-Polynoms.

Für $n=1$, das heißt für holomorphe Funktionen einer Variablen, muss das Weierstraß-Polynom das normierte Monom $z_1^m$ sein. Es ist dann $f(z_1)=u(z_1)z_1^m$ mit einer holomorphen Funktion $u$, die in 0 nicht verschwindet. Der Vorbereitungssatz verallgemeinert daher die Tatsache, dass eine holomorphe Funktion einer Veränderlichen mit $m$-facher Nullstelle in 0 als $u(z_1)z_1^m$ mit einer holomorphen in 0 nicht verschwindenden Funktion $u$ geschrieben werden kann, auf $n$ Dimensionen.

Zur Einordnung des Satzes soll noch erwähnt werden, dass sich aus ihm sehr leicht ein Satz über implizite Funktionen ergibt. Ist nämlich $f\in {}_n𝒪$ in $z_n$ regulär von erster Ordnung, so hat $f$ nach dem Vorbereitungssatz die Form

$f(z_1,\dots ,z_n)=u(z_1,\dots ,z_n)\cdot (z_n-a(z_1,\dots ,z_{n-1}))$

mit einer holomorphen Funktion $a$. Da $u(0)=0$, gilt in einer Umgebung von 0

$f(z_1,\dots ,z_n)=0⟺z_n=a(z_1,\dots ,z_{n-1})$.

Siehe auch

• Divisionssatz von Weierstraß