Von-Neumann-Spur

Die Von-Neumann-Spur ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere bei der Berechnung von L²-Betti-Zahlen Verwendung findet.

Definition

Für eine abzählbare Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ mit Gruppen-Von-Neumann-Algebra $N\mathrm{\Gamma }\subset B(l^2\mathrm{\Gamma })$ definiert man die Von-Neumann-Spur

$t{r}_{\mathrm{\Gamma }}:N\mathrm{\Gamma }\to ℂ$

durch

$t{r}_{\mathrm{\Gamma }}(a)=⟨e,a(e)⟩$,

wobei $e=1\cdot e_{\mathrm{\Gamma }}\in ℂ\mathrm{\Gamma }\subset l^2\mathrm{\Gamma }$ das neutrale Element und $⟨.,.⟩$ das Skalarprodukt auf dem Hilbert-Modul $l^2\mathrm{\Gamma }$ ist.

Eigenschaften

• Für alle $a,b\in N\mathrm{\Gamma }$ ist $t{r}_{\mathrm{\Gamma }}(ab)=t{r}_{\mathrm{\Gamma }}(ba)$.
• Für $a\in N\mathrm{\Gamma }$ und den adjungierten Operator $a^{*}$ gilt: $t{r}_{\mathrm{\Gamma }}(a{a}^{*})=0⟺a=0$.
• Wenn $⟨x,a(x)⟩\ge 0$ für alle $x\in l^2\mathrm{\Gamma }$, dann ist $t{r}_{\mathrm{\Gamma }}(a)\ge 0$.

Beispiele

• Für eine endliche Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ ist $N\mathrm{\Gamma }=ℂ\mathrm{\Gamma }$ und $t{r}_{\mathrm{\Gamma }}(\sum _{g\in \mathrm{\Gamma }}{a}_g\cdot g)=a_e$.
• Für $\mathrm{\Gamma }=\mathbb{Z}$ ist $N\mathbb{Z}$ via Fourier-Transformation isomorph zu $L^{\mathrm{\infty }}([-\pi ,\pi ],ℂ)$, die Wirkung auf $l^2\mathrm{\Gamma }\simeq L^2([-\pi ,\pi ],ℂ)$ ist durch punktweise Multiplikation, und die Von-Neumann-Spur ist $t{r}_{\mathrm{\Gamma }}(f)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}fd\mu$.

Fortsetzung auf Matrizen

Für eine Matrix $A\in Mat(n\times n,N\mathrm{\Gamma })$ ist die Von-Neumann-Spur definiert durch

$t{r}_{\mathrm{\Gamma }}(A)=\sum _{j=1}^{n}t{r}_{\mathrm{\Gamma }}(A_{jj})$.

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).