Vollständig positiver Operator

Vollständig positive Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um positive, lineare Operatoren zwischen C*-Algebren, bei denen die Fortsetzungen auf die Matrixalgebren ebenfalls positiv sind.

Definitionen

Eine stetige, lineare Abbildung $P:A\to B$ zwischen zwei C*-Algebren $A$ und $B$ heißt positiv, falls $P$ positive Elemente auf positive Elemente abbildet, das heißt, falls $P(a^{*}a)$ für jedes $a\in A$ die Form $b^{*}b$ für ein $b\in B$ hat.

Für $n\in \mathbb{N}$ sei $M_n(A)$ die C*-Algebra der $n\times n$-Matrizen über $A$. Diese ist isomorph zum Tensorprodukt aus $A$ und der C*-Algebra $M_n(ℂ)$ der komplexen $n\times n$-Matrizen. Die Abbildung $P:A\to B$ definiert Abbildungen

$P_n=P\otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_{M_n(ℂ)}:M_n(A)\to M_n(B),P_n((a_{i,j}{)}_{i,j=1,\dots n}):=(P(a_{i,j}){)}_{i,j=1,\dots n}$.

$P$ heißt $n$-positiv, falls $P_n$ positiv ist. $P$ heißt vollständig positiv, falls $P$ $n$-positiv ist für alle $n\in \mathbb{N}$.

Beispiele

Jeder positive, lineare Operator auf einer kommutativen C*-Algebra ist vollständig positiv.

Jeder Zustand auf einer C*-Algebra ist vollständig positiv. Allgemeiner ist jeder positive Operator von einer C*-Algebra in eine kommutative C*-Algebra vollständig positiv.

Alle *-Homomorphismen sind vollständig positiv. Ist allgemeiner $\pi :A\to B$ ein *-Homomorphismus und $b\in B$, so definiert $P(a):=b^{*}\pi (a)b$ einen vollständig positiven Operator. Nach dem Satz von Stinespring gilt für vollständig positive Operatoren mit Norm kleiner gleich 1 die Umkehrung.

Die Transposition $P$ auf der C*-Algebra $M_2(ℂ)$ ist ein positiver Operator, der nicht vollständig positiv ist. Beispielsweise ist

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right)\in M_4(ℂ)=M_2(M_2(ℂ))$

ein positives Element, aber

$P_2\left(\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}P(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right))& P(\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right))\\ P(\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right))& P(\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right))\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

ist nicht positiv, denn die Determinante ist gleich −1. Daher ist $P$ nicht 2-positiv.

Eigenschaften und Anwendungen

Kadison-Schwarz-Ungleichung

Es sei $P:A\to B$ eine 2-positive, lineare Abbildung zwischen C*-Algebren mit Einselement und es sei $P(1)=1$. Dann gilt die schwarzsche Ungleichung

$P(a{)}^{*}P(a)\le P(a^{*}a)$ für alle $a\in A$.

Allgemeiner gilt für eine vollständig positive Abbildung

$P(a{)}^{*}P(a)\le \Vert P\Vert P(a^{*}a)$ für alle $a\in A$,

was auch als Kadison-Schwarz-Ungleichung bekannt ist. Ist $P$ nur positiv, so gilt obige Ungleichung nur für normale Elemente.

Nukleare C*-Algebren

Nukleare C*-Algebren lassen sich wie folgt mittels vollständig positiver Operatoren charakterisieren: Eine C*-Algebra $A$ ist genau dann nuklear, wenn die Identität ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_A$ punktweiser Normlimes vollständig positiver, 1-beschränkter Operatoren endlichen Ranges ist, das heißt, es gibt ein Netz $(P_i{)}_{i\in I}$ vollständig positiver Operatoren mit $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{P}_i(A)<\mathrm{\infty }$ und $\Vert P_i\Vert \le 1$ für alle $i\in I$ und $\underset{i\in I}{\lim }\Vert P_i(a)-a\Vert =0$ für alle $a\in A$.

Liftungssatz von Choi-Effros

Es gilt folgende auch als Liftungssatz von Choi-Effros bekannte Aussage: Sei $A$ eine nukleare C*-Algebra und $P:A\to B/J$ ein vollständig positiver Operator mit $\Vert P\Vert \le 1$ in die Quotientenalgebra der C*-Algebra $B$ nach dem abgeschlossenen, zweiseitigen Ideal $J$. Dann gibt es einen vollständig positiven Operator $Q:A\to B$ mit $\Vert Q\Vert \le 1$ und $P=\pi \circ Q$, wobei $\pi :B\to B/J$ die Quotientenabbildung sei.