Vermutung von Andrica

Die ersten 100 Werte für $\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}$

Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica, ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.

Sei $p_n$ die $n$-te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen $n$ gilt:

$\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1.$

Unter Verwendung der $n$-ten Primzahllücke $g(n):=p_{n+1}-p_n$ lässt sie sich auch so formulieren:

$g(n)<\sqrt{p_{n+1}}+\sqrt{p_n}.$

Werte

Die ersten 500 Werte für $A_n=\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}$.

Es sei $A_n:=\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}$.

Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes $n$, sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle $A_n$ mit $n<26\cdot 10^{10}$ wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt, der größte gefundene Wert war $A_4\approx 0,670873479$.

Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere $n$ nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

$n$ Vorlage:OEIS	$p_n$ Vorlage:OEIS	$A_n$ Vorlage:OEIS
4	7	0,670873
30	113	0,639281
217	1327	0,463722
263	1669	0,292684
367	2477	0,260522
429	2971	0,256245
462	3271	0,244265
590	4297	0,228429
650	4831	0,215476
738	5591	0,213675
…
10655462	191912783	0,008950

Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005) wurden die Primzahlen bis $10^{16}$ getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.

Verallgemeinerung

Allgemeiner kann man etwa die Gleichung

$p_{n+1}^x-p_n^x=1$

betrachten und nach maximalem bzw. minimalem $x$ suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr

• Maximum trivialerweise bei $n=1$, d. h.

$3^x-2^x=1\Rightarrow x=1$

• Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei $n=30$, d. h.

$127^x-113^x=1\Rightarrow x=0,56714813\dots =a_0$

Dieses $a_0$ wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.

Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung

$B_n=p_{n+1}^a-p_n^a<1\text{für alle }a<a_0.$

Außerdem wird vermutet, dass

$C_n=p_{n+1}^{1/k}-p_n^{1/k}<\frac{2}{k}\text{wobei }k\ge 2,k\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}.$

Ähnliche Vermutung

Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem $n^2$ und $(n+1{)}^2$ mindestens eine Primzahl existiert.

Literatur

• Florentin Smarandache: Six Conjectures which Generalize or Are Related to Andrica's Conjecture. In: Octogon. Band 7, Nr. 1, 1999, S. 173–176. Vorlage:ArXiv; vgl.: Perez

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Andrics’s Conjecture, Archivlink abgerufen am 6. November 2022 und Generalized Andrica conjecture auf PlanetMath
• M. L. Perez: Five Smarandache Conjectures on Primes