Verma-Modul

In der Mathematik ist der Verma-Modul ein unendlich-dimensionaler Modul über der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra, aus dem sich die endlich-dimensionalen Darstellungen eines gegebenen höchsten Gewichts gewinnen lassen.

Konstruktion

Sei $𝔤$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, $𝔥$ eine Cartan-Unteralgebra, $R$ das Wurzelsystem mit $R^{+}$ als Menge der positiven Wurzeln. Für jedes $\alpha \in R^{+}$ wählen wir ein $X_{\alpha }\in {𝔤}_{\alpha }$ und $Y_{\alpha }\in {𝔤}_{-\alpha }$.

Zu einem Gewicht $\lambda :𝔥\to ℂ$ konstruiert man den Verma-Modul $W_{\lambda }$ als Quotient

$W_{\lambda }:=U(𝔤)/I_{\lambda }$

der universellen einhüllenden Algebra $U(𝔤)$ nach dem Linksideal $I_{\lambda }$ erzeugt von allen Elementen der Form

$X_{\alpha },\alpha \in R^{+}$

und

$H-\lambda (H)1,H\in 𝔥$.

Für einen Vektor höchsten Gewichts $v\in W_{\lambda }$ ist die durch

$\mathrm{\Phi }(x)=x\cdot v$

definierte Abbildung $\mathrm{\Phi }:U(𝔤)\to W_{\lambda }$ ein surjektiver Homomorphismus.

Beispiel sl(2,C)

Wir betrachten das Beispiel $𝔤=𝔰𝔩(2,ℂ)$. Für $𝔥$ wählen wir den Aufspann von $H=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.

Für ein beliebiges $m\in ℂ$ definieren wir $\lambda :𝔥\to ℂ$ durch $\lambda (H)=m$. Wir wählen $X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ und $Y=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Dann wird der Verma-Modul $W_{\lambda }$ von linear unabhängigen Vektoren $v_0,v_1,v_2,\dots$ erzeugt und $U(𝔤)$ wirkt durch

$X\cdot v_j=j(m-(j-1))v_{j-1},Y\cdot v_j=v_{j+1},H\cdot v_j=(m-2j)v_j$.

Wegen $X\cdot v_{m+1}=0$ ist der von $v_{m+1},v_{m+2},\dots$ aufgespannte Untervektorraum ein invarianter Unterraum. Der Quotient von $W_{\lambda }$ nach diesem Unterraum gibt die endlich-dimensionale Darstellung von $𝔤=𝔰𝔩(2,ℂ)$ mit höchstem Gewicht $\lambda$.

Universelle Eigenschaft

Zu jeder Darstellung $V$ von $𝔤$, deren höchstes Gewicht $\lambda$ ist, gibt es einen surjektiven Lie-Algebren-Homomorphismus $W_{\lambda }\to V$.

Literatur

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Humphreys, J. (1980), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.