Vergleichssatz von Rauch

In der Mathematik ist der Vergleichssatz von Rauch, benannt nach Harry Rauch, ein grundlegender Lehrsatz der riemannschen Geometrie.

Formulierung des Satzes

Seien $M_1,M_2$ riemannsche Mannigfaltigkeiten und ${\gamma }_1:[0,a]\to M_1,{\gamma }_2:[0,a]\to M_2$ Geodätische mit $|{\gamma }_1^{\prime }(t)|=|{\gamma }_2^{\prime }(t)|$ für alle $t$. Sei $J_1$ ein Jacobi-Feld entlang ${\gamma }_1$ und $J_2$ ein Jacobi-Feld entlang ${\gamma }_2$ mit

$J_1(0)=J_2(0)=0,⟨J_1^{\prime }(0),{\gamma }_1^{\prime }(0)⟩=⟨J_2^{\prime }(0),{\gamma }_2^{\prime }(0)⟩,|J_1^{\prime }(0)|=|J_2^{\prime }(0)|$

Man nehme an, dass ${\gamma }_2$ keine konjugierten Punkte hat und dass für alle $t$ und alle $v_1\in T_{{\gamma }_1(t)}M,v_2\in T_{{\gamma }_2(t)}M$ die Ungleichung

$K(v_1,{\gamma }_1^{\prime }(t))\le K(v_2,{\gamma }_2^{\prime }(t))$

für die Schnittkrümmungen der aufgespannten Ebenen gilt.

Dann ist

$|J_1(t)|\ge |J_2(t)|$

für alle $t$. Falls für ein $t_0$ die Gleichheit $|J_1(t_0)|=|J_2(t_0)|$ gilt, muss $K(J_1(t),{\gamma }_1^{\prime }(t))=K(J_2(t),{\gamma }_2^{\prime }(t))$ für alle $t\in [0,t_0]$ sein.

Folgerungen

Aus dem Vergleichssatz von Rauch folgt ein Dreiecksvergleich für Mannigfaltigkeiten mit einer unteren Krümmungsschranke: In einer Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung $K\ge K_0$ sind Dreiecke dicker als Dreiecke mit denselben Seitenlängen in der (einfach zusammenhängenden) Vergleichs-Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung $K_0$. (Der analoge Dreiecksvergleich für Mannigfaltigkeiten mit oberer Krümmungsschranke wurde von Alexandrow und Toponogow bewiesen.)

Rauch bewies den Vergleichssatz ursprünglich um zu zeigen, dass eine einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung $0,76\le K\le 1$ homöomorph zur Sphäre sein muss. Das wurde später von Klingenberg und Berger zum Sphärensatz verbessert.

Literatur

• H. E. Rauch: A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38–55
• M. do Carmo: Riemannian geometry, Birkhäuser, Basel (1992). ISBN 978-0-8176-3490-2