Unterfunktor

Unterfunktoren werden im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie definiert. Ein mengenwertiger Funktor ist Unterfunktor eines anderen, wenn zwischen den Bildern der Objekte eine Teilmengenbeziehung besteht und zwischen den Bildern der Morphismen eine zugehörige Einschränkungsbeziehung.

Definition

Es seien $𝒞$ eine Kategorie und $F,G:𝒞\to 𝒮ℯ𝓉$ zwei Funktoren in die Kategorie der Mengen, beide kovariant oder kontravariant. $G$ heißt Unterfunktor von $F$, falls

• für alle Objekte $C$ aus $𝒞$ gilt $G(C)\subset F(C)$ und
• für alle Morphismen $f:C\to D$ in $𝒞$ ist $G(f)=F(f){|}_{G(C)}$ (bzw. $G(f)=F(f){|}_{G(D)}$ im kontravarianten Fall).

Dabei steht der senkrechte Strich für die Einschränkung der Abbildung auf die genannte Menge.

In diesem Fall verwendet man die Schreibweise $G\subset F$.

Beispiele

• Sei $𝒢𝓇𝓅$ die Kategorie der Gruppen und $K:𝒢𝓇𝓅\to 𝒢𝓇𝓅$ der Funktor, der jede Gruppe $G$ auf die Kommutatorgruppe $K(G):=⟨[G,G]⟩$ abbildet und jeden Gruppenhomomorphismus auf die Einschränkung auf die Kommutatorgruppe. Da Gruppenhomomorphismen Kommutatoren wieder auf Kommutatoren abbilden, erhält man so einen Funktor. Schließlich sei $V:𝒢𝓇𝓅\to 𝒮ℯ𝓉$ der Vergissfunktor. Dann ist $V\circ K\subset V$.
• Die durch Siebe definierten Funktoren sind genau die Unterfunktoren des kontravarianten Hom-Funktors.

Unterfunktoren von Prägarben

Ist $𝒞$ eine kleine Kategorie, so nennt man einen Funktor ${𝒞}^{op}\to 𝒮ℯ𝓉$ von der dualen Kategorie in die Kategorie der Mengen eine Prägarbe. Die Funktorkategorie der Prägarben mit den natürlichen Transformationen als Morphismen wird mit $\widehat{𝒞}$ oder ${𝒮ℯ𝓉}^{{𝒞}^{op}}$ bezeichnet. Unterobjekte einer Prägarbe $F$ sind definitionsgemäß Äquivalenzklassen von Monomorphismen $G\to F$. Man kann zeigen, dass jedes Unterobjekt in $\widehat{𝒞}$ durch einen Unterfunktor repräsentiert wird. Das heißt, dass in jeder dieser Äquivalenzklassen auch ein Unterfunktor liegt.