Unimodale Abbildung

Die Abbildung $f(x)=1-x^2$ hat ein eindeutiges Maximum in $x=0$.

Eine unimodale Abbildung oder unimodale Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mit einem eindeutigen (lokalen und globalen) Maximum wie zum Beispiel

$f(x)=-x^2$

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Definition

Die präzise Definition lautet wie folgt:

Eine Abbildung $f:I\to I$ eines Intervalls $I\subset ℝ$ in sich mit $f(\partial I)\subset \partial I$ ist unimodal, wenn es ein $m\in I$ gibt, so dass $f(x)$ für $x\le m$ streng monoton wachsend und für $x\ge m$ streng monoton fallend ist.

Aus der Definition folgt, dass $f(m)$ der maximale Funktionswert von $f$ ist und dass $f$ neben $m$ keine weiteren lokalen Maxima besitzt.

Beispiele

• Eine quadratische Funktion $f(x)=a{x}^2+bx+c$ mit $a<0$ ist unimodal.
• Die Entropie in der Informationstheorie ist unimodal.
• Das Negative der Betragsfunktion ist unimodal.
• Die Zeltabbildung ist unimodal.

Literatur

• Anušić: Dynamics of unimodal interval maps
• Bruin: Combinatorics of (Fibonacci-like) unimodal maps