Ungleichung von Schur

Die Ungleichung von Schur (Vorlage:EnS) ist eine von mehreren klassischen Ungleichungen, die der Mathematiker Issai Schur auf dem mathematischen Gebiet der Analysis beigesteuert hat.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

Gegeben seien reelle Zahlen $r,x,y,z$ und dabei gelte $x,y,z>0$.

Dann besteht die Ungleichung

$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-z)(y-x)+z^r(z-x)(z-y)\ge 0$

und es gilt hierbei das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die drei Zahlen $x,y,z$ alle übereinstimmen.

Anwendung

In Anwendung der obigen schurschen Ungleichung (mit $r=2$) lässt sich eine der zahlreichen geometrischen Ungleichungen in der Dreiecksgeometrie der euklidischen Ebene herleiten:

Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck $ABC$ gegeben, dessen Seiten die Längen $a,b,c$ haben sollen, und ist hier $s$ gleich dem halben Umfang von $ABC$, so gilt stets die Ungleichung

$abcs\ge a^3\cdot (s-a)+b^3\cdot (s-b)+c^3\cdot (s-c)$

Literatur

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