Ungleichung von Burgess

Die Ungleichung von Burgess (auch Burgess-Schranke) ist in der analytischen Zahlentheorie eine Ungleichung, welche eine obere Schranke für Charaktersummen

$S_{\chi }(N,H):=\sum _{N+1\le n\le N+H}\chi (n)$

liefert, wobei $\chi$ ein Dirichlet-Charakter modulo einer kubikfreien Zahl $p\in \mathbb{N}$ ist, der kein Hauptcharakter ${\chi }_0$ ist. Die Ungleichung ist vor allem dann interessant, wenn $p$ eine Primzahl ist.

Die Ungleichung wurde 1963 mit einer Reihe von verwandten Ungleichungen von dem britischen Mathematiker David Allan Burgess bewiesen. Sie liefert eine bessere Abschätzung für kleine Charakter-Summen als die Ungleichung von Polya-Winogradow von 1918. Mittlerweile gibt es auch bessere und allgemeinere Schranken als die Burgess-Schranke.

Ungleichung von Burgess

Eine Zahl heißt kubikfrei, wenn sie durch keine Kubikzahl $x^3$ außer $\pm 1$ ohne Rest geteilt werden kann, insbesondere ist jede Primzahl kubikfrei.

Sei $r\in \mathbb{N}$ mit $r\ge 2$ und $\epsilon >0$. Sei weiter $\chi$ ein Dirichlet-Charakter modulo $p\in \mathbb{N}$, der kein Hauptcharakter ist. Für zwei $N,H\in \mathbb{N}$ sei die Charaktersumme

$S_{\chi }(N,H):=\sum _{N+1\le n\le N+H}\chi (n).$

Wenn nun entweder $p$ kubikfrei ist oder $r\le 3$, dann gilt die Ungleichung von Burgess

$|S_{\chi }(N,H)|\le C_{r,\epsilon }{H}^{1-1/r}{q}^{(r+1)/(4r^2)+\epsilon }$

für eine nur von $r$ und $\epsilon$ abhängige Konstante $C_{r,\epsilon }$.

Literatur

• Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski - Analytic number theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 53, American Mathematical Society, Providence, RI,2004.