Typ und Kotyp eines Banach-Raumes

Typ und Kotyp eines Banach-Raumes sind eine Klassifikation von Banach-Räumen und ein Maß um zu messen, wie weit ein Banach-Raum von einem Hilbert-Raum entfernt ist.

Ausgangspunkt ist die pythagoreische Identität eines Hilbert-Raumes. In einem Hilbert-Raum gilt für orthogonale Vektoren $(e_k{)}_{k=1}^n$ die Identität

${\Vert \sum _{k=1}^n{e}_k\Vert }^2=\sum _{k=1}^n{\Vert e_k\Vert }^2.$

Dies ist in allgemeinen Banach-Räumen nicht mehr der Fall. Die Orthogonalität wird in der Definition mit Hilfe von Rademacher-Zufallsvariablen formuliert, deshalb spricht man auch von Rademacher-Typ und Rademacher-Kotyp.

Der Begriff geht zurück auf den französischen Mathematiker Jean-Pierre Kahane.

Definition

Sei

• $(X,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banach-Raum,
• $({\epsilon }_i)$ eine Folge von unabhängigen Rademacher-Zufallsvariablen, das heißt $P({\epsilon }_i=-1)=P({\epsilon }_i=1)=1/2$ sowie $𝔼[{\epsilon }_i{\epsilon }_m]=0$ für $i\ne m$ (Orthogonalität) und $\mathrm{Var}[{\epsilon }_i]=1$.

Typ

$X$ ist vom Typ $p$ mit $p\in [1,2]$, falls eine endliche Konstante $C\ge 1$ existiert, so dass

${𝔼}_{\epsilon }\left[{\Vert \sum _{i=1}^n{\epsilon }_i{x}_i\Vert }^p\right]\le C^p(\sum _{i=1}^n\Vert x_i{\Vert }^p)$

für alle endlichen Folgen $(x_i{)}_{i=1}^n\in X^n$. Die beste Konstante $C$ nennen wir Type-$p$-Konstante und notieren sie mit $T_p(X)$.

Kotyp

$X$ ist vom Kotyp $q$ mit $q\in [2,\mathrm{\infty }]$, falls eine endliche Konstante $C\ge 1$ existiert, so dass

${𝔼}_{\epsilon }\left[{\Vert \sum _{i=1}^n{\epsilon }_i{x}_i\Vert }^q\right]\ge \frac{1}{C^q}(\sum _{i=1}^n\Vert x_i{\Vert }^q),\text{wenn}2\le q<\mathrm{\infty }$

respektive

${𝔼}_{\epsilon }\left[\Vert \sum _{i=1}^n{\epsilon }_i{x}_i\Vert \right]\ge \frac{1}{C}\sup \Vert x_i\Vert ,\text{wenn}q=\mathrm{\infty }$

für alle endlichen Folgen $(x_i{)}_{i=1}^n\in X^n$. Die beste Konstante $C$ nennen wir Kotyp-$q$-Konstante und notieren sie mit $C_q(X)$.

Erläuterungen

Durch ziehen der $p$-ten resp. $q$-ten Wurzel erhält man die Gleichung für die (Bochner)-$L^p$-Norm.

Eigenschaften

• Die Gleichung lässt sich auch verkürzt mit der Bochner-Lebesgue-Norm schreiben.
• Jeder Banach-Raum ist von Typ $1$ (folgt aus der Dreiecksungleichung).

Ein Banach-Raum:

• ist von Typ $2$ und Kotyp $2$ genau dann, wenn er isomorph zu einem Hilbert-Raum ist, dann gilt die pythagoreische Identität.
• der vom Typ $p$ ist, ist auch vom Typ $p^{\prime }\in [1,p]$.
• der vom Kotyp $q$ ist, ist auch vom Kotyp $q^{\prime }\in [q,\mathrm{\infty }]$.
• der vom Typ $p$ (mit $1<p\le 2$) ist, besitzt einen Dualraum $X^{*}$ vom Kotyp $p^{*}$, wobei $p^{*}$der konjugierte Index $p^{*}:=(1-1/p{)}^{-1}$ ist. Weiter gilt $C_{p^{*}}(X^{*})\le T_p(X)$

In Banach-Räumen vom Typ $2$ gilt eine Version des zentralen Grenzwertsatz, wie von Jørgen Hoffmann-Jørgensen und Gilles Pisier gezeigt wurde.

Beispiele

• Die $L^p$-Räume für $p\in [1,2]$ sind vom Typ $p$ und vom Kotyp $2$, das heißt $L^1$ ist vom Typ $1$, $L^2$ ist vom Typ $2$ usw.
• Die $L^p$-Räume für $p\in [2,\mathrm{\infty })$ sind vom Typ $2$ und vom Kotyp $p$.
• $L^{\mathrm{\infty }}$ ist vom Typ $1$ und vom Kotyp $\mathrm{\infty }$.

Literatur

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