Tits-System

Ein Tits-System (oft synonym auch BN-Paar genannt) wird in der mathematischen Disziplin der Gruppentheorie benutzt, um viele Resultate aus der Theorie der halbeinfachen Lie-Gruppen, der algebraischen Gruppen und der endlichen Gruppen vom Lie-Typ einheitlich formulieren und beweisen zu können. Außerdem bilden die Tits-Systeme das algebraische Gegenstück zur Gebäude-Theorie. Der Begriff wurde von Jacques Tits eingeführt.

Definition

Ein Tits-System besteht aus einem 4-Tupel $(G,B,N,S)$, wobei $G$ eine Gruppe ist, $B$ und $N$ Untergruppen von $G$ sind und $S\subseteq N/(B\cap N)$ eine Menge von Nebenklassen von $B\cap N$ in $N$ ist, sodass folgende vier Axiome erfüllt sind:

T 1:	Die Gruppe $G$ wird von $B$ und $N$ erzeugt. Außerdem ist $H:=B\cap N$ ein Normalteiler in $N$.
T 2:	Die Faktorgruppe $W:=N/H$ wird von der Menge $S$ erzeugt und es gilt $s^2=1$ für alle $s\in S$.
T 3:	Für $s\in S$ und $w\in W$ gilt $sBw\subseteq BswB\cup BwB$.
T 4:	Für $s\in S$ ist $sB{s}^{-1}$ keine Teilmenge von $B$.

Die Nummerierung T1 bis T4 stammt aus Tits' Originalarbeit.

Beispiele

• Oft wird als Standardbeispiel die Gruppe $G:=\mathrm{G}\mathrm{L}(n,K)$ der invertierbaren $n\times n$-Matrizen über einem Körper $K$ angegeben. Hierbei ist $B$ die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Für die Gruppe $N$ nehmen wir alle Matrizen, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einen Eintrag ungleich Null haben. Die Gruppe $H:=B\cap N$ wird dann genau zu der Gruppe der Diagonalmatrizen und $W=N/H$ ist kanonisch isomorph zur symmetrischen Gruppe über $n$ Elementen. Die Menge $S$ besteht aus den Permutationen, die zwei benachbarte Elemente vertauschen.
• Sei allgemeiner $G$ eine reduktive algebraische Gruppe und $B$ eine Borel-Untergruppe, die einen maximalen Torus $H$ enthält. Sei $N$ der Normalisator von $H$ in $G$ und $S$ ein minimales Erzeugendensystem von $W:=N/H$. Dann ist $(G,B,N,S)$ ein Tits-System.
• Sei $X$ eine Menge mit mindestens drei Elementen und $G$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe von $X$, sodass $G$ zweifach transitiv auf $X$ wirkt. Weiterhin seien zwei unterschiedliche Elemente $x,y\in X$ gegeben. Dann sei $B$ der Stabilisator von $x$ in $G$ und $N$ sei definiert als die Gruppe, die die Menge $\{x,y\}$ als Menge fixiert, d. h. die Elemente $x$ und $y$ werden entweder beide fixiert oder vertauscht. Dann ergibt sich $H:=B\cap N$ als punktweiser Stabilisator der Menge $\{x,y\}$. Die Faktorgruppe $W:=N/H$ hat Ordnung 2 und die Menge $S$ besteht nur aus einem einzigen Element und dieses entspricht der Vertauschung von $x$ und $y$.

Anmerkungen

Man kann zeigen, dass die Menge $S$ eindeutig festgelegt ist, wenn von einem Tits-System nur die Gruppen $G,B,N$ gegeben sind. Da außerdem die Gruppe $G$ von $B$ und $N$ erzeugt wird, steckt die gesamte Information über das Tits-System in den Gruppen $B$ und $N$. Deswegen hat sich auch die Bezeichnung BN-Paar eingebürgert.

Bruhat-Zerlegung

Ein wichtiges Resultat, das sich im allgemeinen Rahmen von Tits-Systemen beweisen lässt, ist die sogenannte Bruhat-Zerlegung: Wenn ein Tits-System $(G,B,N,S)$ gegeben ist, dann gilt

$G=BNB=\bigcup _{n\in N}BnB=\bigcup _{w\in W}BwB$,

wobei $\bigcup _{w\in W}BwB$ eine disjunkte Vereinigung ist, das heißt $W$ ist so gewählt, dass für $w\ne w^{\prime }$ die Mengen $BwB$ und $B{w}^{\prime }B$ disjunkt sind.

Anwendungen

Wenn bei einem Tits-System $(G,B,N,S)$ noch die folgenden Zusatzeigenschaften erfüllt sind:

• $B$ ist auflösbar
• Der Schnitt aller Konjugate von $B$ ist trivial
• Die Menge $S$ lässt sich nicht in zwei disjunkte nichtkommutierende Teilmengen zerlegen
• $G$ ist perfekt

Dann ist die Gruppe $G$ eine einfache Gruppe. Oft ist es sehr leicht, die ersten drei Eigenschaften nachzuprüfen und es bleibt nur noch die Perfektheit von $G$ zu zeigen, was deutlich einfacher ist, als direkt zu zeigen, dass $G$ eine einfache Gruppe ist. Dieses Resultat benutzt man zum Beispiel bei der Klassifikation der einfachen endlichen Gruppen, um zu zeigen, dass die meisten endlichen Gruppen vom Lie-Typ einfach sind.

Zusammenhang mit Gebäudetheorie

Oft ist es hilfreich, Gruppen zu untersuchen, indem man sie auf interessanten geometrischen Objekten wirken lässt. Jedem Tits-System $(G,B,N,S)$ lässt sich auf kanonische Art und Weise ein geometrisches Objekt zuordnen, genannt Gebäude, sodass $G$ auf diesem Gebäude wirkt. Umgekehrt lässt sich auch jedem Gebäude ein Tits-System zuordnen, sodass die gruppentheoretische Theorie der Tits-Systeme in gewisser Art und Weise äquivalent zur geometrischen Theorie der Gebäude ist.

Weblinks

• Jacques Tits: Formes quadratiques, groupes orthogonaux et algèbres de Clifford. Inventiones Mathematicae 1968
• Mark Ronan Buildings