Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel (nach Willy Thomas, Fritz Reiche und Werner Kuhn) ist ein mathematisches Hilfsmittel in der Quantenmechanik.

Sie besagt, dass für die Strahlungsübergänge eines Teilchens der Masse $m_0$ zwischen einem bestimmten Zustand $|m⟩$ und allen anderen Zuständen $|n⟩$ gilt:

$\sum _n(E_n-E_m){\left|⟨n|\hat{x}|m⟩\right|}^2=\frac{{\hslash }^2}{2m_0}$
$\hslash$ … das reduzierte plancksche Wirkungsquantum
$E_n$ … die Energie des Zustands $|n⟩$
$⟨n|\hat{x}|m⟩=x_{nm}$ … das Matrixelement des Ortsoperators, das direkt mit dem elektrischen Dipolmoment des Überganges verknüpft ist

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel gilt nur für ausschließlich ortsabhängige Potentiale und kann somit in den meisten Fällen angewandt werden.

Beweis

$\begin{array}{cc}\sum _n(E_n-E_m){\left|⟨n|\hat{x}|m⟩\right|}^2& =\sum _n(E_n-E_m)⟨m|\hat{x}|n⟩⟨n|\hat{x}|m⟩\\ & =\frac{1}{2}\sum _n(⟨m|\hat{x}\hat{H}-\hat{H}\hat{x}|n⟩⟨n|\hat{x}|m⟩+⟨m|\hat{x}|n⟩⟨n|\hat{H}\hat{x}-\hat{x}\hat{H}|m⟩)\\ & =\frac{1}{2}\sum _n(⟨m|\hat{x}|n⟩⟨n|[\hat{H},\hat{x}]|m⟩-⟨m|[\hat{H},\hat{x}]|n⟩⟨n|\hat{x}|m⟩)\\ & =\frac{1}{2}(⟨m|\hat{x}[\hat{H},\hat{x}]|m⟩-⟨m|[\hat{H},\hat{x}]\hat{x}|m⟩)\\ & =\frac{1}{2}(⟨m|[\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]]|m⟩)\\ & =-\frac{i\hslash }{2m_0}⟨m|[\hat{x},\hat{p}]|m⟩\\ & =\frac{{\hslash }^2}{2m_0}\end{array}$

Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet:

$[\hat{H},\hat{x}]=-\frac{i\hslash }{m_0}\hat{p}$

$[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash$