Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $\mathrm{\Psi }$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $|\mathrm{\Psi }⟩$ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $\widehat{𝐱}=({\hat{x}}_1,{\hat{x}}_2,{\hat{x}}_3)$, so dass

$E({\hat{x}}_j)={⟨{\hat{x}}_j\mathrm{\Psi },\mathrm{\Psi }⟩}_{\mathrm{H}},j=1,2,3$

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $\mathrm{\Psi }$ ist.

Definition und Eigenschaften

• Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren ${\hat{x}}_j$, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren ${\hat{p}}_k$ die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen:

$[{\hat{x}}_j,{\hat{p}}_k]=\mathrm{i}\hslash {\delta }_{jk},[{\hat{x}}_j,{\hat{x}}_k]=0=[{\hat{p}}_j,{\hat{p}}_k],j,k\in \{1,2,3\}$

• Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum ${ℝ}^3$ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum $H=L^2({ℝ}^3;ℂ)$ ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums ${ℝ}^3$, jeder Zustand $\mathrm{\Psi }$ ist durch eine Ortswellenfunktion $\psi (𝐱)$ gegeben.

Die Ortsoperatoren $\widehat{𝐱}=({\hat{x}}_1,{\hat{x}}_2,{\hat{x}}_3)$ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator ${\hat{x}}_j$ wirkt auf Ortswellenfunktionen $\psi (𝐱)$ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $x_j$

$({\hat{x}}_j\psi )(𝐱)=x_j\cdot \psi (𝐱)$

Dieser Operator ${\hat{x}}_j$ ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum $D=\{\psi \in H|x\cdot \psi \in H\}$ definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

$E({\hat{x}}_j)={⟨{\hat{x}}_j\mathrm{\Psi },\mathrm{\Psi }⟩}_{L^2}=\underset{{ℝ}^3}{\int }{x}_j\psi (𝐱)\overline{\psi (𝐱)}\mathrm{d}x=\underset{{ℝ}^3}{\int }{x}_j|\psi (𝐱){|}^2\mathrm{d}x$

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

$\left({\hat{p}}_k\psi \right)(𝐱)=-\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial x_k}\psi (𝐱)$

Eigenfunktionen

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung

$(\hat{x}{\psi }_{{𝐱}_{\mathrm{𝟎}}})(𝐱)={𝐱}_{\mathrm{𝟎}}\cdot {\psi }_{{𝐱}_{\mathrm{𝟎}}}(𝐱)$

erfüllen, wobei ${\psi }_{{𝐱}_{\mathrm{𝟎}}}(𝐱)$ die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}}$ darstellt.

Die Eigenfunktionen $\psi ({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})$ zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen: $\widehat{𝐱}\delta (𝐱-{𝐱}_{\mathrm{𝟎}})={𝐱}_{\mathrm{𝟎}}\delta (𝐱-{𝐱}_{\mathrm{𝟎}})$

mit der Identität: $f(x)\delta (x-x_0)=f(x_0)\delta (x-x_0)$

Impulsdarstellung

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen $\tilde{\psi }(𝐩)$

$({\hat{p}}_k\tilde{\psi })(𝐩)=p_k\cdot \tilde{\psi }(𝐩)$

und der Ortsoperator als Differentialoperator:

$({\hat{x}}_j\tilde{\psi })(𝐩)=\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial p_j}\tilde{\psi }(𝐩)$

Literatur

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