Tanaka-Formel

Die Tanaka-Formel ist eine Resultat aus der stochastischen Analysis über die Darstellung der Lokalzeit eines stetigen Semimartingals bei $0$. Die Formel stammt von dem japanischen Mathematiker Tanaka Hiroshi.

Es existiert eine Verallgemeinerung von Paul-André Meyer.

Tanaka-Formel

Sei $X=(X_t{)}_{t\ge 0}$ ein stetiges Semimartingal in $ℝ$ und $L^0$ seine Lokalzeit bei $0$. Weiter definieren wir folgende Vorzeichenfunktion

$\mathrm{sgn}(x-):=1_{(0,\mathrm{\infty })}(x)-1_{(-\mathrm{\infty },0]}(x).$

Dann lautet die Tanaka-Formel

$L_t^0=|X_t|-|X_0|-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{sgn}(X_s-)\mathrm{d}{X}_s,t\ge 0.$

Allgemeiner definiert man die Lokalzeit $L_t^x$ an einem Punkt $x\in ℝ$ als die Lokalzeit bei $0$ für den Prozess $X-x$, dann erhält man folgende Tanaka-Formel

$L_t^x=|X_t-x|-|X_0-x|-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{sgn}((X_s-x)-)\mathrm{d}{X}_s,t\ge 0.$

Literatur

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