Superperfekte Zahl

Eine natürliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet, wenn die Summe der Teiler der Summe ihrer Teiler doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Zahl n. Verwendet man $\sigma$ als Notation für die Teilersummenfunktion, so kann man die Definition wie folgt aufschreiben:

n ist eine superperfekte Zahl genau dann, wenn $\sigma (\sigma (n))=2n.$

Die bekannteren vollkommenen Zahlen erfüllen dagegen die Gleichung $\sigma (n)=2n.$ Die Frage, ob eine Zahl superperfekt ist, stellt sich bei der Untersuchung der iterierten Teilersummenfunktion (siehe auch Inhaltskette; hier wird jedoch die Abbildung $n\mapsto \sigma (n)-n$ iteriert).

Beispiele und Eigenschaften

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Summe dieser Zahlen ist 12. Die Teiler von 12 wiederum sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12, deren Summe 28 ist. Wegen 28 ≠ 2·6 ist 6 keine superperfekte Zahl. Weitere Rechenbeispiele sind:

Zahl $n$	$\sigma (n)$	$\sigma (\sigma (n))$	$2n$	Superperfekt?
$2$	$\sigma (2)=1+2=3$	$\sigma (3)=1+3=4$	$4$	Vorlage:Ja
$3$	$\sigma (3)=1+3=4$	$\sigma (4)=1+2+4=7$	$6$	Vorlage:Nein
$6$	$\sigma (6)=1+2+3+6=12$	$\sigma (12)=1+2+3+4+6+12=28$	$12$	Vorlage:Nein
$8$	$\sigma (8)=1+2+4+8=15$	$\sigma (15)=1+3+5+15=24$	$16$	Vorlage:Nein
$10$	$\sigma (10)=1+2+5+10=18$	$\sigma (18)=1+2+3+6+9+18=39$	$20$	Vorlage:Nein
$16$	$\sigma (16)=1+2+4+8+16=31$	$\sigma (31)=1+31=32$	$32$	Vorlage:Ja

Die ersten superperfekten Zahlen sind 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, … (Vorlage:OEIS).

Jede gerade superperfekte Zahl hat die Form $2^{p-1}$, wobei $2^p-1$ eine Mersenne-Primzahl ist (Beispiel: 16 ist superperfekt und 31 eine Mersenne-Primzahl). Umgekehrt liefert jede Mersenne-Primzahl eine gerade superperfekte Zahl. Ob es ungerade superperfekte Zahlen gibt, ist nicht bekannt.

Verallgemeinerung

Superperfekte Zahlen sind – genau wie die vollkommenen Zahlen – Beispiele für Zahlen der Oberklasse von (m, k)-superperfekten Zahlen, welche wie folgt definiert sind:

n ist eine (m, k)-superperfekte Zahl genau dann, wenn ${\sigma }^m(n)=k\cdot n$ gilt.

Vollkommene Zahlen sind somit (1,2)-superperfekt und superperfekte Zahlen (2,2)-superperfekt. Die Mathematiker G. L. Cohen und H. J. J. te Riele halten es für möglich, dass jede Zahl (m, k)-superperfekt ist für geeignete m und k.

Es folgen ein paar Beispiele für verallgemeinerte $(m,k)$-superperfekte Zahlen:

Die Zahl 21 ist eine $(2,3)$-superperfekte Zahl, weil gilt:

$\sigma (21)=1+3+7+21=32$

${\sigma }^m(21)={\sigma }^2(21)=\sigma (\sigma (21))=\sigma (32)=1+2+4+8+16+32=63$

Es ist aber auch $k\cdot 21=3\cdot 21=63$.

Die Zahl 14 ist eine $(3,12)$-superperfekte Zahl, weil gilt:

$\sigma (14)=1+2+7+14=24$

${\sigma }^2(14)=\sigma (\sigma (14))=\sigma (24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60$

${\sigma }^m(14)={\sigma }^3(14)=\sigma (\sigma (\sigma (14)))=\sigma (60)=1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30+60=168$

Es ist aber auch $k\cdot 14=12\cdot 14=168$.

Die Zahl 18 ist eine $(4,20)$-superperfekte Zahl, weil gilt:

$\sigma (18)=1+2+3+6+9+18=39$

${\sigma }^2(18)=\sigma (\sigma (18))=\sigma (39)=1+3+13+39=56$

${\sigma }^3(18)=\sigma (\sigma (\sigma (18)))=\sigma (56)=1+2+4+7+8+14+28+56=120$

${\sigma }^m(18)={\sigma }^4(18)=\sigma (\sigma (\sigma (\sigma (18))))=\sigma (120)=1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120=360$

Es ist aber auch $k\cdot 18=20\cdot 18=360$.

Es folgen weitere Beispiele von (m, k)-superperfekten Zahlen:

m	k	(m,k)-superperfekte Zahlen	OEIS-Folge
2	2	2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, 1152921504606846976, 309485009821345068724781056, 81129638414606681695789005144064, 85070591730234615865843651857942052864	Vorlage:OEIS
2	3	8, 21, 512	Vorlage:OEIS
2	4	15, 1023, 29127, 355744082763	Vorlage:OEIS
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024, 22548578304	Vorlage:OEIS
2	7	24, 1536, 47360, 343976	Vorlage:OEIS
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072, 7635468288, 16106127360	Vorlage:OEIS
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936, 5099962368	Vorlage:OEIS
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296, 14763499520, 38385098752	Vorlage:OEIS
2	11	4404480, 57669920, 238608384	Vorlage:OEIS
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120, 16785793024, 22648550400, 36051025920, 51001180160, 144204103680	Vorlage:OEIS
3	k	1, 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, 6882, 7616, 9114, 14592, 18288, 22848, 32704, 40880, 52416, 53760, 54864, 56448, 60960, 65472, 94860, 120960, 122640, 169164, 185535, 186368, 194432	Vorlage:OEIS
4	k	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, 336, 455, 512, 896, 960, 992, 1023, 1280, 1536, 1848, 2040, 2688, 4092, 5920, 7808, 7936, 10416, 16352, 20384, 21824, 23424, 24564, 29127, 33792, 41440	Vorlage:OEIS

Literatur

• D. Suryanarayana: Super perfect numbers. In: Elemente der Mathematik, 1969, 24, S. 16–17, digizeitschriften.de
• Dieter Bode: Über eine Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen. Dissertation, Braunschweig 1971
• Richard K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 3. Auflage. Springer, 2004, Kapitel B2 und B9, Google books
• G. L. Cohen, H. J. J. te Riele: Iterating the sum-of-divisors function. In: Experimental Mathematics, 1993, 5, S. 93–100, projecteuclid.org

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:PlanetMath