Stokes-Automorphismus

Der Stokes-Automorphismus ist ein Begriff aus der Écalle-Theorie (Theorie der resurgenten Funktionen) und der asymptotischen Analysis. Der Automorphismus stellt einen Zusammenhang zwischen zwei gerichteten Borel-Resummierungen bzw. Borel-Laplace-Transformationen dar, welche durch eine Stokes-Linie getrennt werden.

Bei asymptotischen Entwicklungen von komplex-wertigen Funktionen spielt das Argument eine zentrale Rolle und so können unterschiedliche asymptotische Entwicklungen für dieselbe Funktion auftreten. Das klassische Beispiel ist die Airy-Funktion. Die verschiedenen Regionen werden durch die Stokes- und Anti-Stokes-Linien getrennt. Bildet man nun Resummierungen, das heißt Borel-Summierungen mit Laplace-Transformationen, können diese durch Stokes-Linien getrennt sein.

Der Stokes-Automorphismus ist nach Sir George Gabriel Stokes benannt.

Stokes-Automorphismus

Mit ${\widetilde{\text{Res}}}^{simp}$ bezeichnen wir den Raum der simplen $\mathrm{\Omega }$-resurgenten Reihen d. h. Potenzreihen, deren formale Borel-Transformation simple $\mathrm{\Omega }$-resurgente Funktionen sind. Die nachfolgende Definition wird für Elemente aus ${\widetilde{\text{Res}}}^{simp}$ definiert, kann aber auf den Raum der resurgenten Funktionen $ℂ\delta \oplus \tilde{\mathscr{H}}(ℛ)$ erweitert werden.

Sei $\tilde{\varphi }(z)\in {\widetilde{\text{Res}}}^{simp}$, dann ist die laterale Borel-Summierung entlang $\theta$ definiert durch

${𝒮}_{{\theta }^{+}}\tilde{\varphi }(z)=c+\underset{0}{\overset{e^{i\theta }(\mathrm{\infty }+i\epsilon )}{\int }}\mathrm{d}\zeta e^{-z\theta }\hat{\varphi }(\zeta )$

${𝒮}_{{\theta }^{-}}\tilde{\varphi }(z)=c+\underset{0}{\overset{e^{i\theta }(\mathrm{\infty }-i\epsilon )}{\int }}\mathrm{d}\zeta e^{-z\theta }\hat{\varphi }(\zeta )$

wobei $c\in ℂ$ und $\hat{\varphi }(\zeta )$ die Borel-Transformation von $\tilde{\varphi }$ bezeichnet.

Sei ${𝒮}_{{\theta }^{\pm }}$ die laterale Borel-Summierung, dann ist der Stokes-Automorphismus ${𝔖}_{\theta }:{\widetilde{\text{Res}}}^{simp}\to {\widetilde{\text{Res}}}^{simp}$ definiert als ${𝒮}_{{\theta }^{+}}={𝒮}_{{\theta }^{-}}\circ {𝔖}_{\theta }$.

Literatur

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