Stieltjesscher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt, benannt nach dem Mathematiker Thomas Jean Stieltjes, ist ein Inhalt, mit dem man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral verallgemeinern kann.

Stieltjes’scher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt wird auf dem Halbring $𝒥:=\{]a,b]:a,b\in ℝ,a\le b\}$ über $ℝ$ definiert. Da man Inhalte auf einem Halbring eindeutig auf ihrem erzeugten Ring fortsetzen kann, kann er auf der Menge

$ℱ:=\{\bigcup _{j=1}^n{I}_j|I_1,\dots ,I_n\in 𝒥,I_j\cap I_k=\mathrm{\varnothing }\text{ wenn }j\ne k\}$

betrachtet werden.

Ist $F:ℝ\to ℝ$ eine monoton wachsende Funktion, so nennt man den Inhalt

${\mu }_F:𝒥\to ℝ,{\mu }_F(]a,b]):=F(b)-F(a),(a\le b)$

den zu $F$ gehörenden Stieltjes’schen Inhalt. Er ist σ-endlich.

Darstellung von Inhalten

Ist $\mu :𝒥\to ℝ$ ein endlicher Inhalt und wird $F:ℝ\to ℝ$ definiert durch

$F(x):=\{\begin{array}{cc}\mu (]0,x]),& \text{wenn }x\ge 0\\ -\mu (]x,0]),& \text{wenn }x<0\end{array}$,

so ist $F$ eine monoton wachsende Funktion und es gilt $\mu ={\mu }_F$. Damit lässt sich also jeder endliche Inhalt auf $ℝ$ als Stieltjes’scher Inhalt darstellen.

Lebesgue-Stieltjes’sches Prämaß

Man ist oft daran interessiert, ob ein Inhalt σ-additiv ist, also

${\mu }_F\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_F(I_i)$

gilt, wenn die $I_i$ paarweise verschieden sind. σ-additive Inhalte sind nämlich Prämaße und lassen sich zu Maßen fortsetzen. Der Stieltjes’sche Inhalt ist genau dann ein Prämaß, wenn $F$ rechtsstetig ist. In diesem Fall nennt man ${\mu }_F$ das zu $F$ gehörige Lebesgue-Stieltjes’sche Prämaß. Als Spezialfall ergibt sich für $F(x)=x$ das Lebesguesche Prämaß. Hat man hingegen als Mengensystem den Halbring der links abgeschlossenen Intervalle gewählt, so ist ${\mu }_F$ ein Prämaß, genau dann wenn $F$ linksseitig stetig ist. Dieses Prämaß ist ebenfalls σ-endlich.

Lebesgue-Stieltjes-Integral

Mithilfe des Stieltjes’schen Inhalts kann man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}F(x)$ erweitern. Dazu verwendet man den Maßerweiterungssatz von Carathéodory, um aus dem Prämaß das Lebesgue-Stieltjes-Maß zu konstruieren. Die σ-Endlichkeit des Maßes liefert die Eindeutigkeit der Fortsetzung. Aus dem Maß lässt sich schließlich der neue Integralbegriff konstruieren.

Literatur

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