Stark stetige Gruppe

Eine stark stetige Gruppe ist eine Familie $(T(t){)}_{t\in ℝ}$ von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum $X$ in sich und ist ein Spezialfall einer stark stetigen Halbgruppe. Stark stetige Gruppen werden bei der Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen angewandt, die einen reversiblen Vorgang beschreiben.

Definition

Seien $X$ ein Banachraum und $T=(T(t){)}_{t\in ℝ}$ eine Familie beschränkter linearer Operatoren $T(t):X\to X$ für $t\in ℝ$. Gilt

• $T(0)=I$,
• $T(s+t)=T(s)T(t)$ für alle $s,t\in ℝ$ und
• $\underset{t\to 0}{\lim }T(t)x=x$ für alle $x\in X$,

wird diese Familie stark stetige Gruppe genannt.

Infinitesimaler Erzeuger

Der (infinitesimale) Erzeuger $(A,D(A))$ ist gegeben durch

$D(A):=\{x\in X:\underset{h\to 0}{\lim }\frac{T(h)x-x}{h}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\}$

und

$Ax:=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{T(h)x-x}{h}$ für $x\in D(A)$.

Folgerungen

• Erzeugen $(A,D(A))$ eine stark stetige Halbgruppe $(T_{+}(t){)}_{t\ge 0}$ mit $\Vert T_{+}(t)\Vert \le M{e}^{\omega t}$ und $(-A,D(A))$ eine stark stetige Halbgruppe $(T_{-}(t){)}_{t\ge 0}$ mit $\Vert T_{-}(t)\Vert \le M{e}^{\omega t}$ für ein $\omega \in ℝ$, $M>0$ und alle $t>0$.

So ist $(A,D(A))$ der Erzeuger einer stark stetigen Gruppe $(T(t){)}_{t\ge 0}$ mit $T(t)=T_{+}(t)$ für $t\ge 0$, $T(t)=T_{-}(-t)$ für $t<0$ und $\Vert T(t)\Vert \le M{e}^{\omega |t|}$ für $t\in ℝ$.

• Sei $(A,D(A))$ ein dicht definierter, abgeschlossener Operator und es existiere $\omega \in ℝ$ und $M>0$, so dass $(\omega ,\mathrm{\infty })\cup (-\mathrm{\infty },-\omega )\subset \rho (A)$ und $\Vert ((|\lambda |-\omega )R(\lambda ,A){)}^n\Vert \le M$ für alle $\lambda >\omega ,\lambda <-\omega$ und alle $n\in \mathbb{N}$.

Dann erzeugt $(A,D(A))$ eine stark stetige Gruppe $(T(t){)}_{t\in ℝ}$ mit $\Vert T(t)\Vert \le M{e}^{\omega |t|}$ für alle $t\in ℝ$. Hierbei stehen $R(\lambda ,A)$ für die Resolvente und $\rho (A)$ für die Resolventenmenge von $A$.

Satz von Stone

Marshall Harvey Stone veröffentlichte 1932 in den Annals of Mathematics folgenden Satz: Seien $X$ ein Hilbertraum und $T$ eine stark stetige Gruppe, wobei $T(t)$ für alle $t\in ℝ$ unitär ist. Dann existiert ein selbstadjungierter Operator $A$, so dass $iA$ der Erzeuger von $T$ ist. Umgekehrt erzeugt $iA$ für jeden selbstadjungierten Operator $A$ eine stark stetige Gruppe aus unitären Operatoren.

Literatur

• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York NY 2000, ISBN 0-387-98463-1 (Graduate Texts in Mathematics 194).
• Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Corrected printing of the 2nd edition. Springer, Berlin 1980, ISBN 0-387-07558-5 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 132), (Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58661-X (Classics in mathematics)).
• Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44).