Serres mod-C-Theorie

In der Mathematik ist Serres mod-C-Theorie ein Konzept der Homotopietheorie, demzufolge sich manche Sätze der algebraischen Topologie modulo Klassen abelscher Gruppen formulieren lassen.

Sei $𝒞$ eine Klasse abelscher Gruppen mit der Eigenschaft, dass für Gruppen in einer exakten Sequenz $0\to A\to B\to C\to 0$ aus $A\in 𝒞$ und $C\in 𝒞$ auch $B\in 𝒞$ folgt. Weiterhin folge aus $A\in 𝒞$ stets $A\otimes B\in 𝒞$ für beliebige $B$, und aus $A\in 𝒞$ folge $H_i(A)\in 𝒞$ für alle $i>0$.

Ein Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen $f:A\to B$ heißt $𝒞$-injektiv, wenn sein Kern zu $𝒞$ gehört, und $𝒞$-surjektiv, wenn sein Kokern zu $𝒞$ gehört. Er heißt ein $𝒞$-Isomorphismus, wenn er $𝒞$-injektiv und $𝒞$-surjektiv ist.

Der von Serre bewiesene „Satz von Hurewicz mod $𝒞$“ besagt: Für einen Raum $X$ mit ${\pi }_{0}X={\pi }_{1}X=0$ und ${\pi }_{i}X\in 𝒞$ für alle $i<n$ ist $H_i(X)\in 𝒞$ für $0<i<n$ und ${\pi }_{n}X\to H_n(X)$ ist ein $𝒞$-Isomorphismus. Für $𝒞=\left\{0\right\}$ erhält man den Satz von Hurewicz.

Der von Serre bewiesene „Satz von Whitehead mod $𝒞$“ besagt: Für Räume $X,Y$ mit ${\pi }_{0}X={\pi }_{0}Y=0,{\pi }_{1}X={\pi }_{1}Y=0$ und eine Abbildung $f:X\to Y$, so dass $f_{*}:{\pi }_{2}X\to {\pi }_{2}Y$ $𝒞$-surjektiv ist, sind für eine natürliche Zahl $n$ die folgenden Bedingungen äquivalent:

• $f_{*}:H_i(X)\to H_i(Y)$ ist ein $𝒞$-Isomorphismus für $i<n$ und $𝒞$-surjektiv für $i=n$,
• $f_{*}:{\pi }_{i}X\to {\pi }_{i}Y$ ist ein $𝒞$-Isomorphismus für $i<n$ und $𝒞$-surjektiv für $i=n$.

Für $𝒞=\left\{0\right\}$ erhält man einen Satz von Whitehead.

Literatur

• J.-P. Serre: Groupes D'Homotopie Et Classes De Groupes Abelien, Ann. Math. 58, 258–294, 1953. online