Semiprimideal

Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.

Definition

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Ist $I◃R$ ein Ideal von R mit $I^2\subseteq Q$, dann ist $I\subseteq Q$.
• Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.

Eigenschaften

• Ein Ring R heißt semiprim, wenn $\{0\}$ ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung $R\to \prod _{P}R/P,x\mapsto (x+P{)}_P$, wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein semiprimer Ring subdirektes Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim ist.
• Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
• Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.