Subdirektes Produkt

In der universellen Algebra ergibt sich das Problem, dass nicht alle (universellen) Algebren als direktes Produkt direkt irreduzibler Algebren dargestellt werden können. Als Lösung bietet sich das sogenannte subdirekte Produkt an, eine bestimmte Art einer Unteralgebra eines direkten Produktes. Der erste Darstellungssatz von Garrett Birkhoff besagt dann, dass sich jede Algebra als subdirektes Produkt subdirekt irreduzibler Algebren schreiben lässt.

Definition

Es seien $A_i(i\in I)$ Algebren vom selben Typ, das heißt von derselben algebraischen Struktur, und $I$ eine Indexfamilie. Eine Unteralgebra $B\subseteq \prod _{i\in I}{A}_i$ heißt subdirektes Produkt der $A_i$, falls ${\alpha }_j(B)=A_j$ gilt für alle $j\in I$, wobei ${\alpha }_j:\prod _{i\in I}{A}_i\to A_j$ die kanonische Projektion bezeichnet.

Subdirekte Irreduzibilität

Eine Einbettung $\phi :A\to \prod _{i\in I}{A}_i$ heißt subdirekte Darstellung von $A$, falls $\phi (A)$ subdirektes Produkt der $A_i$ ist.

$A$ heißt subdirekt irreduzibel, falls für jede subdirekte Darstellung ein $j\in I$ so existiert, dass ${\alpha }_j\circ \phi :A\to A_j$ ein Isomorphismus ist.

Motivation

Dass eine Algebra im Normalfall nicht als direktes Produkt direkt irreduzibler Algebren dargestellt werden kann, zeigt folgendes Beispiel: Eine boolesche Algebra $B$ ist genau dann direkt oder subdirekt irreduzibel, wenn $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}B\le 2$ gilt. Eine abzählbar unendliche boolesche Algebra ist gegeben durch $B=(X,\cup ,\cap {,}^{\prime },\mathrm{\varnothing },\mathbb{N})$ mit Trägermenge $X:=\{M\subseteq \mathbb{N}:M\text{ endlich}\text{ oder }\mathbb{N}\setminus M\text{ endlich}\}$. Diese kann unmöglich direktes Produkt zweielementiger Algebren sein, da ein solches Produkt entweder endlich oder überabzählbar ist.

Darstellungssatz von Birkhoff

Jede Algebra ist isomorph zu einem subdirekten Produkt subdirekt irreduzibler Algebren desselben Typs. Die Darstellung als subdirektes Produkt ist nicht eindeutig.

Beispiel

Oben erwähnte boolesche Algebra hat beispielsweise folgende subdirekte Darstellung:

$\phi :X\to {\{0,1\}}^{\mathbb{N}}$ mit $(\phi (x){)}_j=\{\begin{array}{cc}1,& \text{falls }j\in x\\ 0,& \text{falls }j\in ̸x\end{array}$

Literatur

• Thomas Ihringer: Allgemeine Algebra. Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 10. Heldermann Verlag, 2003 Lemgo