Schwache Konvergenz in Lp

Die schwache Konvergenz in ${ℒ}^p$ und die schwache Konvergenz in $L^p$ sind zwei eng miteinander verwandte Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen aus der Maßtheorie. Sie sind ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis für Folgen in L^p-Räumen. Zu beachten ist, dass es in der Maßtheorie und der Stochastik mehrere verschiedene Konzepte von schwacher Konvergenz gibt, diese sollten nicht miteinander verwechselt werden. In Abgrenzung zur schwachen Konvergenz in ${ℒ}^p$ oder $L^p$ wird die Norm-Konvergenz, also die Konvergenz im p-ten Mittel dann auch als starke Konvergenz in ${ℒ}^p$ oder $L^p$ bezeichnet.

Definition

Gegeben sei ein Maßraum $(X,𝒜,\mu )$ sowie $p\in [1,\mathrm{\infty })$ und $q:=\frac{1}{1-1/p}$, also $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ mit $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$, der zu $p$ konjugierte Index. Außerdem seien $f,(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ aus ${ℒ}^p(X,𝒜,\mu )$, kurz ${ℒ}^p$, dem Raum der p-fach integrierbaren Funktionen. Die Funktionenfolge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt schwach konvergent gegen $f$, wenn für alle $g\in {ℒ}^q$ gilt, dass

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}g\mathrm{d}\mu =\underset{X}{\int }fg\mathrm{d}\mu$

ist. Analog definiert man die schwache Konvergenz von Funktionen aus $L^p$. Man schreibt dann in beiden Fällen $f_n\rightharpoonup f$.

Einordnung

In der Funktionalanalysis versteht man unter schwacher Konvergenz Folgendes: Ausgehend von einem normierten Vektorraum $V$ bildet man den topologischen Dualraum

$V^{\prime }:=\{T|T:V\to 𝕂\text{ ist linear und stetig }\}$.

Eine Folge $(x_n{)}_{n\in N}$ in $V$ heißt dann schwach konvergent gegen $x\in V$, wenn

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }T(x_n)=T(x)\text{ für alle }T\in V^{\prime }$

ist. Betrachtet man nun als normierten Vektorraum den ${ℒ}^p(X,𝒜,\mu )$ für $p=(1,\mathrm{\infty })$, so ist der Dualraum normisomorph zum ${ℒ}^q(X,𝒜,\mu )$ (siehe auch Dualität von Lp-Räumen), wobei $q$ der zu $p$ konjugierte Index ist, also $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Jedes Element aus dem Dualraum ist dann von der Form

$T_g(\cdot )=\int g\cdot \mathrm{d}\mu \text{ für ein }g\in {ℒ}^q$.

Somit ist eine Folge von $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {ℒ}^p$ schwach konvergent in $L^p$, wenn

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{T}_g(f_n)=T_g(f)$

für alle $g\in {ℒ}^q$, was der oben angegebenen Definition entspricht. Die schwache Konvergenz in ${ℒ}^p$ ist somit ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis und auch ein Standardbeispiel für ebendiese.

Eindeutigkeit

Der Grenzwert einer schwach konvergenten Folge in ${ℒ}^p$ ist nur bis auf eine $\mu$-Nullmenge eindeutig bestimmt. Das bedeutet, dass wenn die Funktionenfolge schwach gegen $f$ und schwach gegen $g$ konvergiert folgt, dass $f=g$ $\mu$-fast überall ist.

Dementsprechend ist der Grenzwert bei der schwachen Konvergenz in $L^p$ aufgrund der Unempfindlichkeit gegenüber Nullmengen eindeutig bestimmt.

Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen

Konvergenz lokal nach Maß

Aus der Konvergenz lokal nach Maß folgt für $p\in (1,\mathrm{\infty })$ unter Umständen die schwache Konvergenz. Konvergiert eine Folge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ aus ${ℒ}^p$ gegen $f\in {ℒ}^p$ lokal nach Maß und ist die Folge reeller Zahlen $(\Vert f_n{\Vert }_p{)}_{n\in \mathbb{N}}$ beschränkt, so konvergiert die Folge auch schwach gegen $f$.

Für $p=1$ ist diese Aussage im Allgemeinen nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt: Betrachtet man den Maßraum $([0,1],ℬ([0,1]),\lambda {|}_{[0,1]})$, so konvergiert die Folge

$f_n=n{\chi }_{[0,1/n]}$

lokal nach Maß gegen 0 und es ist $\Vert f_n{\Vert }_1=1$ für alle $n$. Aber für die konstante Funktion $g=1$ aus ${ℒ}^{\mathrm{\infty }}$ ist dann

$\underset{X}{\int }{f}_{n}g\mathrm{d}\lambda =1$.

Somit konvergiert die Folge nicht schwach gegen 0.

Konvergenz im p-ten Mittel

Jede im p-ten Mittel konvergente Folge konvergiert für $p\in [1,\mathrm{\infty })$ auch schwach, denn aus der Hölder-Ungleichung folgt

$|\underset{X}{\int }{f}_{n}g\mathrm{d}\mu -\underset{X}{\int }fg\mathrm{d}\mu |\le \Vert f_n-f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$,

somit existiert eine konvergente Majorante. Die Grenzwerte stimmen dann überein. Der Satz von Radon-Riesz liefert unter einer Voraussetzung auch die Umkehrung. Er besagt, dass für $p\in (1,\mathrm{\infty })$ eine Funktionenfolge genau dann im p-ten Mittel konvergiert, wenn sie schwach konvergiert und die Folge der Normen der Funktionenfolge gegen die Norm der Grenzfunktion konvergiert.

Literatur

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