Schubkorrekturfaktor

Der Schubkorrekturfaktor $\kappa$ dient in der Technischen Mechanik zur Berücksichtigung der Veränderung infolge Verwölbung durch Querkraftschub der Schubfläche $A_S$ im Vergleich zur eigentlich ebenen Balken-Querschnittsfläche $A$.

Herleitung für dickwandige Querschnitte

Bei der Herleitung des Schubkorrekturfaktors $\kappa$ wird die Formänderungsenergie ${\mathrm{\Pi }}_Q$ der Querkraft $Q$ (Schnittgröße) mit der Formänderungsenergie ${\mathrm{\Pi }}_{\tau }$ der realen Schubspannung ${\tau }_{(z)}$ gleichgesetzt.

Die Formänderungsenergie ${\mathrm{\Pi }}_Q$ der Querkraft $Q$ kann mit der mittleren Gleitung ${\gamma }_m$ bestimmt werden:

${\mathrm{\Pi }}_Q=\frac{1}{2}\cdot Q\cdot {\gamma }_m$

Für die mittlere Gleitung ${\gamma }_m$ setzen wir das Elastizitätsgesetz der Querkraft ein:

$Q=\kappa \cdot G\cdot A\cdot \gamma \Rightarrow \gamma =\frac{Q}{\kappa \cdot G\cdot A}\Rightarrow {\mathrm{\Pi }}_Q=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^2}{\kappa \cdot G\cdot A}$

Die Formänderungsenergie ${\mathrm{\Pi }}_{\tau }$ der realen Schubspannung ${\tau }_{(z)}$ ergibt sich, indem die reale Schubspannung ${\tau }_{(z)}$ über die Balken-Querschnittsfläche integriert wird:

${\mathrm{\Pi }}_{\tau }=\underset{A}{\int }\frac{1}{2}\cdot {\tau }_{(z)}\cdot \gamma \cdot dA$

Für $\gamma$ wird das Hookesche Gesetz mit $\tau =G\cdot \gamma$ eingesetzt:

${\mathrm{\Pi }}_{\tau }=\underset{A}{\int }\frac{1}{2}\cdot \frac{{\tau }_{(z)}^2}{G}\cdot dA$

Weiterhin wird für die reale Schubspannungsverteilung ${\tau }_{(z)}$ die Gleichung

${\tau }_{(z)}=\frac{Q\cdot S_{y(z)}}{I_y\cdot b_{(z)}}$

eingesetzt:

${\mathrm{\Pi }}_{\tau }=\underset{A}{\int }\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^2\cdot S_{y(z)}^2}{G\cdot I_y^2\cdot b_{(z)}^2}\cdot dA=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^2}{G\cdot I_y^2}\cdot \underset{A}{\int }\frac{S_{y(z)}^2}{b_{(z)}^2}\cdot dA$

mit:

$A$ Balken-Querschnittsfläche

$S_{y(z)}$ Statisches Moment

$G$ Schubmodul

$I_y$ axiales Flächenträgheitsmoment

$b_{(z)}$ Querschnittsbreite an der Stelle $z$

Werden beide Formänderungsenergien gleichgesetzt:

${\mathrm{\Pi }}_Q={\mathrm{\Pi }}_{\tau }=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^2}{\kappa \cdot G\cdot A}=\frac{1}{2}\cdot \underset{A}{\int }\frac{Q^2\cdot S_{y(z)}^2}{G\cdot I_y^2\cdot b_{(z)}^2}\cdot dA$

kann direkt nach dem Schubkorrekturfaktor $\kappa$ für dickwandige Querschnitte aufgelöst werden:

$\frac{1}{\kappa }=\frac{A}{I_y^2}\cdot \underset{A}{\int }\frac{S_{y(z)}^2}{b_{(z)}^2}\cdot dA$

Herleitung für dünnwandige Querschnitte

Auf gleiche Weise lässt sich auch der Schubkorrekturfaktor für dünnwandige Querschnitte herleiten. Hierbei muss lediglich die reale Schubspannung mit

${\tau }_{(z)}=\frac{Q\cdot S_{y(\zeta )}}{I_y\cdot b_{(\zeta )}}$

eingesetzt werden. Damit folgt für den Schubkorrekturfaktor:

$\frac{1}{\kappa }=\frac{A}{I_y^2}\cdot \underset{\zeta }{\int }\frac{S_{y(\zeta )}^2}{t_{(\zeta )}^2}\cdot d\zeta$

Darin ist $\zeta$ die Laufkoordinate entlang der Profilmittellinie des dünnwandigen Querschnittes und $t_{(\zeta )}$ die Querschnittsbreite an der jeweiligen Laufkoordinate.

Beispiele

Querschnitt	Schubkorrekturfaktor
Rechteck	$\frac{5}{6}=0,83\bar{3}$
Vollkreis	$\frac{3}{4}=0,75$
dünnwandiger Kreisring	$0,5$
I-Profil (DIN 1025-1)	$\approx 0,35\dots 0,45$
I-Profil, mittelbreit (DIN 1025-2)	$\approx 0,1\dots 0,25$
I-Profil, Breitflansch (DIN 1025-3)	$\approx 0,18\dots 0,45$
T-Profil (DIN 59051)	$\approx 0,45\dots 0,5$

Für dünnwandige Profile kann auch die von Robert Land eingeführte Näherung verwendet werden:

$\kappa \approx \frac{A_{\text{Steg}}}{A}$

Anmerkung

In mancher Literatur wird für $\kappa$ der Kehrwert $\frac{1}{\kappa }$ verwendet. Damit würde z. B. die Formänderungsenergie der Querkraft

${\mathrm{\Pi }}_Q=\frac{1}{2}\cdot \frac{\kappa \cdot Q^2}{G\cdot A}$

lauten.