Schnirelmann-Dichte

Die Schnirelmann-Dichte soll in der additiven Zahlentheorie die „Dichtheit“ einer Folge quantifizieren. Sie ist stets wohldefiniert, auch wenn die asymptotische Dichte einer Folge nicht existiert.

Definition

Sei $A$ eine Menge natürlicher Zahlen. Dann ist ihre Schnirelmann-Dichte

$\sigma A=\underset{n}{\inf }\frac{A(n)}{n}$, wobei $A(n)$ die Anzahl der natürlichen Zahlen in A beschreibt, die n nicht überschreiten.

Aus der Definition folgt $\sigma A=0\Rightarrow \mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }nA(n)<ϵn.$ und $\mathrm{\forall }kk\notin A\Rightarrow \sigma A\le 1-1/k$. Es gilt also insbesondere

$1\notin A\Rightarrow \sigma A=0$ und

$2\notin A\Rightarrow \sigma A\le \frac{1}{2}$.

Damit sind die Schnirelmann-Dichten der geraden und ungeraden Zahlen jeweils $0$ und $\frac{1}{2}$.

Satz von Mann

Dieser Satz wurde 1942 von Henry Mann bewiesen:

Seien $A,B$ Mengen natürlicher Zahlen und $A\oplus B:=(A\cup \{0\})+(B\cup \{0\})$. Dann gilt:

$\sigma (A\oplus B)\ge \min (1,\sigma A+\sigma B).$

Waringsches Problem

Sei ${𝔊}^k=\{i^k{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$. Dann lässt sich das waringsche Problem wie folgt formulieren:

Für jedes $k\in \mathbb{N}$ existiert ein $N(k)$, sodass $\sigma (N{𝔊}^k={𝔊}^k\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus {𝔊}^k)=1$.

Jede natürliche Zahl lässt sich also als Summe aus $N$ $k$-Potenzen darstellen.

Literatur

• Lew Schnirelmann: Über additive Eigenschaften von Zahlen. Math. Ann. 107, 649–690 (1933)
• Henry Mann: A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers. Ann. math. 43, 43, 523–527 (1942)