Schiefer Kegel

Schiefkegel

Die Basis des allgemeinen Schiefkegels ist eine geschlossene Kurve mit der Parameter-Darstellung x(t):= p(t) und y(t):= q(t), wobei p und q im Intervall [c,d] differenzierbar sind (bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen), außerdem: p(c) = p(d) und q(c) = q(d). Der Punkt E = (u,v) liegt in der Kurven-Ebene, die Kegelspitze S steht im Abstand h senkrecht über E, also S = (u,v,h). Der folgende Formalismus gilt auch für nicht geschlossene Kurven, dann spricht man besser von Segeln als von Kegeln (Dreiecks-Segeln, geschwungenen Dreiecken). Um die Formeln übersichtlich zu halten, wird die Ableitung nach t (wie in der Physik üblich) mit einem Punkt versehen.

Mantel des allgemeinen Schiefkegels

Die Formel für die Mantelfläche M des allgemeinen Schiefkegels gleicht der des schiefen Ellipsenkegels (abgesehen von den Integrationsgrenzen):

$M=\frac{1}{2}\underset{c}{\overset{d}{\int }}\sqrt{Z(t{)}^2+h^2\cdot N(t{)}^2}\mathrm{d}t$

Hier bedeuten

$Z(t)=(p-u)\cdot \dot{q}-(q-v)\cdot \dot{p}$

und

$N(t)=\sqrt{{\dot{p}}^2+{\dot{q}}^2}$

Man könnte mit diesem Formalismus auch den Pyramiden-Mantel berechnen (die Pyramide als „Kegel“ mit quadratischer Basis), aber hier führt die Elementar-Geometrie schneller zum Ziel.

Die geometrische Bedeutung von Z und N

Von Z

Das Radizieren einer Funktion f über [c,d] erfordert Sorgfalt, denn die Quadratwurzel aus f² ist mehrdeutig, sogar unendlich vieldeutig. Um das einzusehen, braucht man nur an einer beliebigen Stelle a (die nicht Nullstelle von f ist) den Wert f(a) in -f(a) umzukehren. Geometrisch bedeutsam sind die Wurzeln |f| und f. Wenn in der Formel für den Mantel eines allgemeinen Schiefkegels die Höhe h gegen Null strebt, entsteht der Ausdruck

$M=\frac{1}{2}\underset{c}{\overset{d}{\int }}\sqrt{Z(t{)}^2}\mathrm{d}t$

und insbesondere für die Wurzel |Z(t)|:

$M=\frac{1}{2}\underset{c}{\overset{d}{\int }}|Z(t)|\mathrm{d}t$

geometrisch gesehen ist das die Fläche des „zusammengefalteten“ Kegelmantels in der xy-Ebene (wo die Kegelbasis liegt). Für die Wurzel Z(t) hingegen ergibt sich

$M=\frac{1}{2}\underset{c}{\overset{d}{\int }}Z(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\underset{c}{\overset{d}{\int }}((p-u)\cdot \dot{q}-(q-v)\cdot \dot{p})\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\underset{c}{\overset{d}{\int }}(p\dot{q}-\dot{p}q)\mathrm{d}t$

weil die bestimmten Integrale über die Ableitungen von uq und vp Null sind. Das folgt aus der Nebenbedingung p(c) = p(d) und q(c) = q(d). Geometrisch gesehen handelt es sich hierbei um die Fläche der Kegelbasis. Durch partielle Integration (und Beachtung von p(c)q(c) = p(d)q(d)) gewinnt man die Gleichung:

$M=\frac{1}{2}\underset{c}{\overset{d}{\int }}(p\dot{q}-\dot{p}q)\mathrm{d}t=\underset{c}{\overset{d}{\int }}p\dot{q}\mathrm{d}t$

Der rechte Ausdruck besticht durch seine Kürze, ist aber unpraktisch, weil sich der scheinbar komplizierte linke Ausdruck besser auswerten lässt. Die Fläche zwischen den Tangenten von E an die Kegelbasis (die Basis selbst nicht mitgerechnet), also die Fläche des Tangenten-Zipfels, ergibt sich aus

$M=\frac{1}{4}\underset{c}{\overset{d}{\int }}(|Z(t)|-Z(t))\mathrm{d}t$

Der Faktor ¼ (statt ½) besagt, dass die Fläche des Tangentenzipfels nur einmal gezählt wird (statt doppelt wie beim zusammengefalteten Kegelmantel, bei dem die E zugewandte und die E abgewandte Mantelfläche übereinander liegen). Wenn E auf dem Rand oder innerhalb der Kegelbasis liegt, verschwindet M. Dann nämlich fallen Basis und zusammengefalteter Mantel in eins.

Von N

Ndt ist das Integrationselement des Umfangs der Kegelbasis (siehe Grafik). Der Umfang der Kegelbasis ergibt sich daher zu

$U=\underset{c}{\overset{d}{\int }}|N(t)|\mathrm{d}t$

Wenn man nur N(t) als Integranden wählt (statt |N(t)|), kann es vorkommen, dass das Integral verschwindet. Beispiel: Die Astroide (Sternkurve) hat die Parameterdarstellung p(t) = a cos(t)³, q(t) = a sin(t)³ über [0,$2\mathrm{\Pi }$]. Dann ist N(t)² = 9a² sin(t)² cos(t)². Für N(t) = 3a sin(t) cos(t) verschwindet das Integral über [0,$2\mathrm{\Pi }$]. Für |N(t)| jedoch ergibt sich

$U=3a\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|\sin (t)\cdot \cos (t)|\mathrm{d}t=12a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin (t)\cdot \cos (t)\mathrm{d}t=6a$

Von Z/N

Der Quotient misst den Abstand des Höhenfußpunktes E = (u,v) von der Kurven-Tangente an (p,q) in Abhängigkeit von t (siehe Grafik). Die allgemeine Gleichung der Tangente an (p,q) lautet

$(p-x)\cdot \dot{q}-(q-y)\cdot \dot{p}=0$

Division durch N führt zur Hesseschen Normalform. Den Abstand des Punktes E = (u,v) von der Tangente gewinnt man dadurch, dass man u und v in die Normalform einsetzt (ohne die Null): das Ergebnis ist Z/N. Beispiel: Die Funktionen p(t) = r cos(t) + m und q(t) = r sin(t) + n über [0,$2\mathrm{\Pi }$] beschreiben den Kreis r um (m,n). Dann ist Z(t)/N(t) = r + (m-u) cos(t) + (n-v) sin(t). Wenn E in das Zentrum des Kreises rückt, wenn also u = m und v = n, resultiert Z(t)/N(t) = r, d. h. die Lote von E auf die Kreistangenten sind die Radiusvektoren der Länge r.

Beispiel: Schiefer Kreiskegel

Die Parameterdarstellung des Kreises $r$ lautet: $p(t)=r\cos (t),q(t)=r\sin (t)$ über $[0,2\pi ]$.

Wenn man diese Werte und ihre Ableitungen in die Formel für den Mantel des allgemeinen Schiefkegels einsetzt, erhält man den Ausdruck

$M=\frac{r}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sqrt{(r-u\cdot \cos (t)-v\cdot \sin (t){)}^2+h^2}\mathrm{d}t$

Mit einem geeigneten (festen) Winkel $w$ lassen sich $u$ und $v$ darstellen als $u=e\cos (w)$ und $v=e\sin (w)$, wobei $e^2:=u^2+v^2$, daher gilt nach dem Additionstheorem: $u\cos (t)+v\sin (t)=e\cos (w-t)$, so dass

$M=\frac{r}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sqrt{(r-e\cdot \cos (w-t){)}^2+h^2}\mathrm{d}t$

Bei der Integration über den Vollkreis spielt die Wahl von $w$ keine Rolle. Man darf deshalb $w=0$ setzen. Der Integrand ist für $w=0$ eine bezüglich $\pi$ symmetrische Funktion, so dass man nur über den Halbkreis zu integrieren braucht und das Resultat verdoppeln muss, also:

$M=r\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sqrt{(r-e\cdot \cos (t){)}^2+h^2}\mathrm{d}t$.

Siehe auch

• Schiefer Kreiskegel
• Schiefer Ellipsenkegel