Schätzfehler

Vorlage:Belege In der Statistik bezeichnet der Schätzfehler die Abweichung einer Schätzfunktion $\hat{\vartheta }$ vom unbekannten Parameter der Grundgesamtheit $\vartheta$. Er ist ein Maß für die Güte der Schätzfunktion (oder Interpolation).

Definition

Er ist definiert als:

$e:=\hat{\vartheta }-\vartheta$

Ist der wahre Parameter unbekannt, so ist auch der Schätzfehler unbekannt. Trotzdem ist es möglich, eine Aussage über die Präzision des Schätzfehlers zu machen.

Parameter des Schätzfehlers

• Der Erwartungswert des Schätzfehlers wird als Verzerrung bezeichnet.
• Die Standardabweichung des Schätzfehlers ist gleich dem Standardfehler.

Beispiele

Wenn $\mu$ der Mittelwert in der Grundgesamtheit ist, ${\sigma }^2$ die Varianz und $\pi$ der Anteilswert in einer dichotomen Grundgesamtheit ist, dann zeigt die folgende Tabelle Schätzfunktionen, Schätzfehler und Verzerrungen. Dabei bezeichnet $N(\mu ,{\sigma }^2)$ die Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz ${\sigma }^2$.

Parameter der Grundgesamtheit	Stichprobenvariablen	Schätzfunktion $\hat{\theta }$	Schätzfehler $e$	Verzerrung $\mathrm{E}(e)$
$\mu$	$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\overline{X}=\frac{X_1+\dots +X_n}{n}$	$\overline{X}-\mu$	$0$
$\mu$	$X_i\sim (\mu ,{\sigma }^2)$ und ZGS erfüllt	$\overline{X}=\frac{X_1+\dots +X_n}{n}$	$\overline{X}-\mu$	$0$
$\pi$	$X_i$ dichotom	$\mathrm{\Pi }=\frac{X_1+\dots +X_n}{n}$	$\mathrm{\Pi }-\pi$	$0$
${\sigma }^2$	$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ und $\mu$ bekannt	$S^{*2}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$	$S^{*2}-{\sigma }^2$	$0$
${\sigma }^2$	$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ und $\mu$ unbekannt	$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$	$S^2-{\sigma }^2$	$0$
${\sigma }^2$	$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ und $\mu$ unbekannt	$S^{\text{'}2}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$	$S^{\text{'}2}-{\sigma }^2$	$-\frac{{\sigma }^2}{n}$

Der Erwartungswert des Schätzfehlers ist die Verzerrung.

Siehe auch

• Prognosefehler