Satz von van Est

In der mathematischen Theorie der Lie-Gruppen ermöglicht der van Est-Isomorphismus oder Satz von van Est die Berechnung der stetigen Kohomologie von halbeinfachen Lie-Gruppen. Er wurde von Willem Titus van Est bewiesen.

Aussage

Die stetige Kohomologie $H_c^{*}(G)$ einer nicht-kompakten halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ kann berechnet werden als

$H_c^{*}(G)=H_{dR}^{*}(G^u/K)$.

Hierbei bezeichnet $K$ eine maximal kompakte Untergruppe von $G$ und $G^u/K$ das kompakte Dual des symmetrischen Raumes $G/K$, sowie $H_{dR}^{*}(G^u/K)$ die De-Rham-Kohomologie von $G^u/K$.

Beispiele

• Für $G=SO(n,1)$ ist $G/K=H^n$ der hyperbolische Raum, sein dualer symmetrischer Raum ist die Sphäre $G^u/K=S^n$ und mit dem Satz von van Est erhält man

$H_c^i(SO(n,1)=H_{dR}^i(S^n)=\{\begin{array}{cc}ℝ,& \text{für }i=0,n\\ 0& \text{sonst}\end{array}$

• Für $G=SL(n,ℂ)$ ist $G/K=SL(n,ℂ)/SU(n)$ mit kompaktem Dual $G^u/K=(SU(n)\times SU(n))/SU(n)\simeq SU(n)$, mit dem Satz von van Est erhält man

$H_c^{*}(SL(n,ℂ))=H_{dR}^{*}(SU(n))={\mathrm{\Lambda }}_{\mathbb{Z}}(b_3,b_5,\dots ,b_{2n-1}),$

wobei $b_i\in H_c^i(SL(n,ℂ))$ die i-te Borel-Klasse bezeichnet.

Literatur

• W.T. van Est: Group cohomology and Lie algebra cohomology in Lie groups I, II, Proc. Kon. Ned. Akad. 56 (1953), 484–504
• W.T. van Est: On the algebraic cohomology concepts in Lie groups I, II, Proc. Kon. Ned. Akad. 58 (1955), 225–233, 286–294
• W.T. van Est: Une application d’une méthode de Cartan-Leray, Proc. Kon. Ned. Akad. 58 (1955), 542–544