Satz von Serre und Swan

In der Mathematik stellt der Satz von Serre und Swan einen Zusammenhang zwischen Vektorbündeln und projektiven Moduln oder, in K-theoretischer Formulierung, zwischen der K-Theorie eines Raumes und seiner Funktionenalgebra her.

Vektorbündel und projektive Moduln

Zu einem Vektorbündel $E\to X$ über einem topologischen Raum $X$ sei $\mathrm{\Gamma }(E)$ der Vektorraum seiner Schnitte. Dieser ist ein Modul über dem Ring $C(X)$ der stetigen Funktionen.

Man kann zeigen, dass $\mathrm{\Gamma }(E)$ ein endlich erzeugter, projektiver $C(X)$-Modul ist.

Sei $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(X)$ die Halbgruppe der Isomorphieklassen der Vektorbündel über $X$ mit der Whitney-Summe $\oplus$ als Verknüpfung und $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(C(X))$ die Halbgruppe der Isomorphieklassen endlich erzeugter, projektiver $C(X)$-Moduln. Die auf Vertretern definierte Zuordnung

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }:\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(X)& \to \mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(C(X))\\ E& \mapsto \mathrm{\Gamma }(E)\end{array}$

ist wohldefiniert und ein Homomorphismus von Monoiden, das heißt, es gilt $\mathrm{\Gamma }(E_1\oplus E_2)=\mathrm{\Gamma }(E_1)\oplus \mathrm{\Gamma }(E_2)$. In dieser Formel wird nicht zwischen Isomorphieklassen und Vertretern daraus unterschieden, was wegen der Wohldefiniertheit möglich ist.

Der Satz von Serre und Swan besagt, dass für einen kompakten Hausdorff-Raum $X$ diese Zuordnung eine Bijektion $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(X)\to \mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(C(X))$ ist.

K-theoretische Formulierung

Da die topologische K-Theorie eines Raumes $X$ die Grothendieck-Gruppe der Halbgruppe $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(X)$ und die topologische K-Theorie der Banachalgebra $C(X)$ die Grothendieck-Gruppe der Halbgruppe $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(C(X))$ ist, folgt aus dem Satz von Serre und Swan unmittelbar der Isomorphismus

$K^0(X)\cong K_0(C(X))$

für jeden kompakten Hausdorff-Raum $X$.

Literatur

• Jean-Pierre Serre: Faisceaux algébriques cohérents. In: Annals of Mathematics. 61 (2), 197–278 (1955).
• Richard Swan: Vector bundles and projective modules. In: Transactions of the American Mathematical Society. 105 (2), 264–277 (1962).