Satz von Schur-Zassenhaus

Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautet^[1]:

Für eine endliche Gruppe $G$ und einen Normalteiler $N ◃ G$ mit $ggT (| N |, [G : N]) = 1$ existiert eine Untergruppe $U \leq G$ mit $G = N U$ und $N \cap U = 1$ . Die Gruppe $G$ ist also das semidirekte Produkt $G = N \times_{θ} U$ aus $N$ und $U$ .

Die Untergruppe $U$ in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solche Untergruppen konjugiert sind.

Beispiele

Die zyklische Gruppe $G = ℤ / 6 ℤ = {\overline{0}, \overline{1}, \dots, \overline{5}}$ hat den Normalteiler $N = {\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}}$ . Da die Zahlen $| N | = 3$ und $[G : N] = 2$ teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden. $U = {\overline{0}, \overline{3}}$ ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da die Gruppe $G$ abelsch ist, ist das semidirekte Produkt in diesem Fall sogar direkt.

Die symmetrische Gruppe $G = S_{3} = {e, d, d^{2}, s_{1}, s_{2}, s_{3}}$ hat den Normalteiler $N = {e, d, d^{2}}$ . Wegen $| N | = 3$ und $[G : N] = 2$ kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen $U_{i} = {e, s_{i}}, i = 1, 2, 3$ die Aussage des Satzes.

Die zyklische Gruppe $G = ℤ / 4 ℤ = {\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}}$ hat den Normalteiler $N = {\overline{0}, \overline{2}}$ . Hier sind $| N | = 2$ und $[G : N] = 2$ nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe $U \subset G$ , die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist $\overline{2}$ und das liegt bereits in $N$ . Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von $| N |$ und $[G : N]$ in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.

Ist $N$ irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel $G = N \times N$ , dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.

Einzelnachweise

↑ Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)

Quellen

Andreas Nickel: Basiswissen Algebra (PDF; 544 kB), Universität Regensburg, S. 6

[1] Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)

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Satz von Schur-Zassenhaus

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