Satz von Rademacher

Der Satz von Rademacher, benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans Rademacher, ist ein Satz der Analysis über Lipschitz-stetige Funktionen.

Aussage

Seien $n,m\in \mathbb{N}$ natürliche Zahlen, $U\subseteq {ℝ}^n$ eine offene Teilmenge eines euklidischen Raumes und schließlich $f:U\to {ℝ}^m$ eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist $f$ fast überall (total) differenzierbar.

Das heißt, die Menge aller Punkte, in denen $f$ nicht differenzierbar ist, ist eine Lebesgue-Nullmenge.

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen $f:U\to (X,d_X)$, wobei $X$ nun einen beliebigen metrischen Raum bezeichne.

Zunächst ist jedoch nicht klar, wie sich obiger Satz auf diesen Fall übertragen lässt, denn ein metrischer Raum trägt nicht a priori auch eine lineare Struktur.

Fasst man $f$ als Funktion zwischen normierten Räumen auf und legt die Fréchet-Differenzierbarkeit zu Grunde, dann wird der Satz sogar falsch:

Als Gegenbeispiel dient hier klassisch die Funktion $\mathrm{\Phi }:[0;1]\to L^1([0;1]),t\mapsto {\chi }_{[0,t]}$, wobei ${\chi }_{[0,t]}$ die charakteristische Funktion des Intervalls $[0,t]$ bezeichne.

Es gilt für beliebige $1\ge y\ge x\ge 0$

$\Vert \mathrm{\Phi }(y)-\mathrm{\Phi }(x){\Vert }_{L^1}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|{\chi }_{[0,y]}(t)-{\chi }_{[0,x]}(t)|dt=\underset{x}{\overset{y}{\int }}1dt=|y-x|$.

Dabei bezeichne $\Vert \cdot {\Vert }_{L^1}$ die L¹-Norm. Das heißt, $\mathrm{\Phi }$ ist eine Isometrie und damit erst recht Lipschitz-stetig, es lässt sich aber zeigen, dass $\mathrm{\Phi }$ nirgendwo Fréchet-differenzierbar ist.

Der deutsche Mathematiker Bernd Kirchheim hat nun aber den Satz von Rademacher in einem anderen Sinne verallgemeinern können:

Ist eine Funktion von einem euklidischen in einen metrischen Raum Lipschitz-stetig, so ist sie fast überall metrisch differenzierbar.