Satz von Milnor-Thom

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie gibt der Satz von Milnor-Thom eine Abschätzung für die Anzahl der Zusammenhangskomponenten der Nullstellenmenge eines Polynoms und allgemeiner für die Summe der Betti-Zahlen der Nullstellenmenge.

Nullstellenmengen von Polynomen

Es sei $P\in ℝ[x_1,\dots ,x_n]$ ein Polynom in $n$ Variablen vom Grad $k$. Der Satz von Milnor-Thom gibt Abschätzungen für die Topologie der Nullstellenmenge

$A=\{x\in {ℝ}^n:P(x)=0\}\subset {ℝ}^n$,

genauer gesagt für die Summe der Betti-Zahlen $b_i(A)$.

Weil die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von $A$ gleich der 0-ten Betti-Zahl $b_0(A)$ ist und alle Betti-Zahlen nichtnegativ sind, gilt offensichtlich

$\mathrm{♯}\left\{\text{Zusammenhangskomponenten von }A\right\}=b_0(A)\le b_0(A)+b_1(A)+\dots +b_n(A)$

und man erhält aus dem Satz von Milnor-Thom insbesondere eine Abschätzung für die Anzahl der Zusammenhangskomponenten.

Die Ungleichungen

John Milnor betrachtete in seiner 1964 geschriebenen Arbeit etwas allgemeiner algebraische Varietäten $V\subset {ℝ}^n$ definiert durch $p$ Polynome $f_i=0,i=1,\dots ,p,$, jedes vom Grad $\le k$ und bewies, dass die Summe ihrer Betti-Zahlen die Ungleichung

$b_0(V)+b_1(V)+\dots +b_n(V)\le k(2k-1{)}^{n-1}$

erfüllt. Für den Fall, dass $V$ durch polynomielle Ungleichungen $f_i\ge 0,i=1,\dots ,p$ definiert wird, bewies er

$b_0(V)+b_1(V)+\dots +b_n(V)\le \frac{1}{2}(2+d)(1+d{)}^{n-1}$

mit $d=deg(f_1)+\dots +deg(f_p)$. Weiterhin bewies er auch Ungleichungen für komplexe algebraische Varietäten $V\subset {ℂ}^n$ und für projektive Varietäten.

René Thom hatte in seiner 1965 veröffentlichten, aber bereits früher geschriebenen Arbeit für die Nullstellenmenge $A\subset {ℝ}^n$ eines Polynoms vom Grad $k$ die Abschätzung $b_0(A)+b_1(A)+\dots +b_n(A)\le (2k{)}^n$ bewiesen. Beide Beweise, von Milnor und von Thom, benutzten Morse-Theorie.

Nolan Wallach gab 1996 eine verbesserte Abschätzung für den Fall nichtsingulärer Hyperflächen: Wenn $f:{ℝ}^n\to ℝ$ ein Polynom vom Grad $k$ und $0$ ein regulärer Wert von $f$ ist, dann gilt für die Summe der Betti-Zahlen von $A=f^{-1}(0)$ die Ungleichung

$b_0(A)+b_1(A)+\dots +b_n(A)\le k^n$.

Literatur

• Thom: Sur l'homologie des variétés algébriques réelles. Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse) pp. 255–265 Princeton Univ. Press, Princeton, N.J. (1965) Online
• Milnor: On the Betti numbers of real varieties. Proc. Amer. Math. Soc. 15, 275–280 (1964), Vorlage:JSTOR.
• Wallach: On a theorem of Milnor and Thom in: Topics in Geometry (Simon Gindikin, editor), 331–348, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 20, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1996. Online MR1390322
• Jacek Bochnak, Michel Coste, Marie-Françoise Roy: Real Algebraic Geometry, Springer 1998, Kapitel 11.5 (Der Satz ist auf S. 284)