Satz von Mertens (Resultantensystem)

Der Satz von Mertens ist ein Satz über homogene Polynome, der unter anderem in der algebraischen Geometrie für projektiv algebraische Mengen relevant ist.

Formulierung

Seien K ein algebraisch abgeschlossener Körper und $f_1,...,f_r\in K[t_0,...,t_n]$ homogene Polynome der Grade $g_1,...,g_r$:

$f_I=\sum _I{a}_I^{(i)}{t}_0^{i_0}...t_n^{i_n}$

Dann gibt es ein Resultantensystem, das heißt Polynome $R_1,...,R_N$ in den Unbestimmten $a_I^{(i)}$, sodass die Polynome $f_1,...,f_r$ eine gemeinsame Nullstelle außer 0 haben (also eine im projektiven Raum), genau dann wenn für alle k $R_k(a_I^{(i)})=0$

Beweis

$f_1,...,f_r$ haben keine gemeinsame Nullstelle außer 0 genau dann, wenn ihre gemeinsame Nullstellenmenge in der Nullstellenmenge von $t_0,...,t_n$ enthalten ist, die ja nur die 0 ist. Wie man sich mit Hilfe des Hilbertschen Nullstellensatzes leicht überlegen kann, ist dies genau dann der Fall, wenn es eine natürliche Zahl d gibt, sodass ${\underset{\_}{t}}^D\in <f_1,...,f_r>$ für alle Multiindizes mit Betrag d. Also sind alle Monome des Grades d in diesem Ideal enthalten, lassen sich also darstellen als Summe dieser mit anderen ohne Einschränkung homogenen Polynomen als Koeffizienten. Unter den ${\underset{\_}{t}}^D{f}_i$, wobei $|D|=d-g_i$ muss es also soviel linear unabhängige geben wie Monome des Grades d. Also gilt: Sie haben keine gemeinsame Nullstelle außer der 0 genau dann, wenn für alle natürlichen Zahlen d je $e_d$ (Anzahl Monome des Grades d) der ${\underset{\_}{t}}^D{f}_i$ linear unabhängig sind. Dies ist äquivalent zum Verschwinden von $e_d$ -Unterdeterminanten gebildet aus 0 und $a_I^{(i)}$. Dies sind Polynome in den $a_I^{(i)}$ und wegen Noetherzität von $K[t_0,....,t_n]$ (Hilbertscher Basissatz) reichen endlich viele.

Literatur

• Franz Mertens: Zur Theorie der Elimination (= Sitzungsberichte der Wiener Akademie der Wissenschaften), Band 108 (1889), Seite 1174.
• B. L. van der Waerden: Zur Konstruktion des Resultantensystems für homogene Gleichungen. In: Archiv der Mathematik, Band 5 (1954), Heft 4–6, S. 371ff, Vorlage:ISSN