Satz von Mazur (Konvexität und Kompaktheit)

Der Satz von Mazur zu Konvexität und Kompaktheit ist einer von mehreren Lehrsätzen, die der polnische Mathematiker Stanisław Mazur zum mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis beigetragen hat. Der Satz geht auf eine Arbeit Mazurs aus dem Jahr 1930 zurück und behandelt eine grundlegende Kompaktheitsfrage im Zusammenhang mit konvexen Teilmengen von Banachräumen. Aus diesem Mazur'schen Satz lässt sich der Fixpunktsatz von Schauder – in der Version für Banachräume – als Folgerung gewinnen.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

Gegeben seien ein Banachraum $X$ und weiter eine darin gelegene Teilmenge $T\subseteq X$ sowie deren abgeschlossene konvexe Hülle $K=\overline{\mathrm{conv}T}\supseteq T$.

Dann gilt:

Ist $T$ eine kompakte Teilmenge von $X$, so ist auch $K$ eine solche.

Verallgemeinerung

In dem Lehrbuch von Jürg T. Marti und ebenso in dem von A. P. Robertson und W. J. Robertson wird der Mazur'sche Satz noch allgemeiner formuliert. Zusammengefasst lässt sich dies wie folgt darstellen:

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer topologischer $ℝ$-Vektorraum $X$ sowie eine Teilmenge $T\subseteq X$.

Dann gilt:

Ist $T$ eine präkompakte Teilmenge von $X$, so sind auch deren konvexe Hülle $\mathrm{conv}T$, deren absolutkonvexe Hülle $\mathrm{\Gamma }T$ und deren abgeschlossene absolutkonvexe Hülle $\overline{\mathrm{\Gamma }T}$ präkompakte Teilmengen.

Weitere Verschärfung im euklidischen Raum

Im euklidischen Raum gilt sogar:

Für jede beliebige kompakte Teilmenge $T\subset {ℝ}^n(n\in \mathbb{N})$ ist die konvexe Hülle $\mathrm{conv}T$ (schon selbst) kompakt.

Anmerkungen und Erläuterungen

• Die Präkompaktheit einer Teilmenge $T\subset X$ ist hier in Bezug auf die durch die Nullumgebungsbasis von $X$ induzierte uniforme Struktur zu verstehen. Eine solche Teilmenge ist demnach genau dann präkompakt, wenn zu jeder Nullumgebung $W\subseteq X$ endlich viele Punkte $x_1,x_2,\dots ,x_m\in X(m\in \mathbb{N})$ existieren, so dass die Überdeckung $\bigcup _{j=1}^m(x_j+W)\supseteq T$ gegeben ist.
• In jedem metrischen Raum – also auch in jedem Banachraum – ist eine Teilmenge präkompakt genau dann, wenn ihre abgeschlossene Hülle präkompakt ist. Hier ist eine Teilmenge damit relativ kompakt, wenn sie präkompakt und ihre abgeschlossene Hülle vollständig ist. In einem Banachraum ist demnach eine Teilmenge präkompakt dann und nur dann, wenn sie relativ kompakt ist.
• Ist $T\subset {ℝ}^n$ beschränkt, so gilt $\mathrm{conv}\bar{T}=\overline{\mathrm{conv}T}$.

Literatur

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