Satz von Landau (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Satz von Landau, benannt nach Edmund Landau, eine obere Abschätzung für gewisse im offenen Einheitskreis $𝔼$ gegebene holomorphe Funktionen.

Der Satz gab Anlass zu einer Anzahl von weitergehenden Untersuchungen, mit denen nicht zuletzt die von Landau gelieferte Abschätzung präzisiert wurde.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien der offene Einheitskreis $𝔼=\{x\in X:|x|<1\}\subset ℂ$ und darauf eine holomorphe Funktion $f:𝔼\to ℂ$ und zudem zwei komplexe Zahlen $a_0$ und $a_1$ .

Dabei soll $f(0)=a_0$ und $f^{\prime }(0)=a_1$ sein und weiter für $z\in 𝔼$ stets $f(z)\ne 0$ und $f(z)\ne 1$ gelten.

Dann gilt:

Es gibt eine allein von $a_0$ abhängige obere Schranke $M(a_0)>0$ , welche die Ungleichung

$|a_1|\le M(a_0)$

erfüllt.

Präzisierung der Schranke

Es lässt sich eine bestmögliche obere Schranke explizit angeben. Hier konnte gezeigt werden, dass stets die Ungleichung

$|a_1|\le 2\cdot |a_0|\cdot (|\ln (|a_0|)|+A),A=\frac{{(\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}))}^4}{4\cdot {\pi }^2}\approx 4,377$

erfüllt ist.

Literatur

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Weblinks

• Eintrag Landau, Satz von im Lexikon der Mathematik (2017)