Satz von Hewitt

Der Satz von Hewitt, manchmal Vorlage:EnS genannt, ist ein im Übergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Teilgebieten Topologie und Funktionalanalysis gelegener Lehrsatz, der auf einer Arbeit des US-amerikanischen Mathematikers Edwin Hewitt aus dem Jahr 1947 beruht. Er ist eng mit dem Approximationssatz von Stone-Weierstraß verbunden, den er in einem gewissen Sinne umkehrt.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum $X\ne \mathrm{\varnothing }$ und dazu die Funktionenalgebra $𝒞:=C_b(X,ℝ)$ der beschränkten stetigen reellwertigen Funktionen $f:X\to ℝ$.

Weiter sei vorausgesetzt, dass eine jede $ℝ$-Unteralgebra $𝒜\subseteq 𝒞$, welche

1. die konstante Funktion $1$ enthält

und

2. punktetrennend in Bezug auf die Raumpunkte $x\in X$ ist,

in $𝒞$ stets dicht liege.

Dann ist $X$ bereits ein kompakter Raum .

Erläuterungen

• Die Funktionenalgebra $𝒞$ ist wie üblich mit der Supremumsnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}:𝒞\to ℝ$ versehen.
• In $𝒞$ ist $𝒜\subseteq 𝒞$ genau dann eine $ℝ$-Unteralgebra, wenn $𝒜$ ein $ℝ$-linearer Unterraum von $𝒞$ ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei $f_1\in 𝒜$ und $f_2\in 𝒜$ stets auch die durch punktweise Multiplikation entstehende Funktion $f_1{f}_2:X\to ℝ,x\mapsto f_1(x)f_2(x),$ in $𝒜$ liegt.
• Unter der konstanten Funktion $1$ versteht man $1:X\to ℝ,x\mapsto 1$.
• Dicht-liegen und das damit verknüpfte Konzept der topologischen Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra $𝒞$ ist im Sinne der vermöge der Supremumsnorm gegebenen Topologie der gleichmäßigen Konvergenz zu verstehen.

Literatur

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