Satz von Halmos-Savage

Der Satz von Halmos-Savage ist ein Lehrsatz der mathematischen Statistik, der bei Vorliegen einer dominierten Verteilungsklasse ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren (und damit auch von Statistiken) liefert. Damit ist der Satz von Halmos-Savage ein Hilfsmittel, um zu überprüfen, ob gewisse Funktionen eine Datenkompression ohne Informationsverlust ermöglichen. Aus dem Satz von Halmos-Savage lässt sich das leichter zu handhabende Neyman-Kriterium für Suffizienz ableiten. Ebenso lassen sich aus dem Satz Kriterien für die Existenz von minimalsuffizienten σ-Algebren ableiten.

Der Satz wurde 1949 von Paul Halmos und Leonard J. Savage bewiesen.

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein statistisches Modell $(X,𝒜,𝒫)$ mit einer dominierten Verteilungsklasse $𝒫$.

Für eine beliebige Verteilungsklasse $𝒫$ sei ${𝒩}_{𝒫}$ die Menge aller $𝒫$-Nullmengen. Für eine dominierte Verteilungsklasse existiert nun immer ein dominierendes $P^{*}$, so dass ${𝒩}_{𝒫}={𝒩}_{P^{*}}$ und $P^{*}$ eine abzählbare Konvexkombination mit echt positiven Koeffizienten von Elementen aus $𝒫$ ist. Es gilt also

$P^{*}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_i{P}_i\text{ mit }{\alpha }_i>0\text{ und }\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_i=1$.

Aussage

Sei $𝒫$ eine dominierte Verteilungsklasse und $P^{*}$ wie oben angegeben. Dann ist eine Unter-σ-Algebra $𝒮$ von $𝒜$ genau dann suffizient, wenn für alle $P\in 𝒫$ eine Funktion $f_P\in ℒ(X,𝒮)$ existiert, so dass $f_P$ $P^{*}$-fast sicher die Radon-Nikodým-Ableitung von $P$ bezüglich $P^{*}$ ist, also

$f_P=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}{P}^{*}}{P}^{*}\text{-fast sicher}$.

Beispiel

Seien ${𝒮}_1\subset {𝒮}_2\subset 𝒜$ σ-Algebren und sei ${𝒮}_1$ suffizient. Außerdem sei $𝒫$ eine dominierte Verteilungsklasse. Dann existiert nach dem Satz von Halmos-Savage ein $f_P$, so dass $f_P\in ℒ(X,{𝒮}_1)$ und

$f_P=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}{P}^{*}}{P}^{*}\text{-fast sicher}$.

Da aber $L(X,{𝒮}_1)\subset L(X,{𝒮}_2)$ ist, gilt $f_P\in L(X,{𝒮}_2)$. Da $f_P$ immer noch die Dichten-Eigenschaft erfüllt, ist mit nochmaliger Anwendung des Satzes auch ${𝒮}_2$ suffizient.

Man beachte, dass diese Aussage im Allgemeinen nicht gilt und dies eines der Defizite des Suffizienzbegriffs darstellt.

Literatur

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