Neyman-Kriterium

Das Neyman-Kriterium ist in der mathematischen Statistik ein Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren und Suffizienz von Statistiken bei statistischen Modellen mit dominierten Verteilungsklassen. Das Neyman-Kriterium leitet sich aus dem Satz von Halmos-Savage ab, ist aber leichter anzuwenden als dieser. Somit ist das Neyman-Kriterium eines der gängigsten Kriterien, um zu überprüfen, ob eine Abbildung Daten ohne Informationsverlust komprimiert.

Es ist nach Jerzy Neyman benannt.

Aussage

Für σ-Algebren

Gegeben sei ein statistisches Modell $(\mathrm{\Omega },𝒜,𝒫)$ mit dominierter Verteilungsklasse $𝒫$, die von $\nu$ dominiert wird, sowie eine Unter-σ-Algebra $𝒮$ von $𝒜$.

Dann ist $𝒮$ suffizient genau dann, wenn eine $𝒜-ℬ([0,\mathrm{\infty }))$-messbare Funktion $h$ existiert und für jedes $P\in 𝒫$ eine $𝒮-ℬ([0,\mathrm{\infty }))$-messbare Funktion $f_P$ existiert, so dass

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\nu }(x)=h(x)\cdot f_P(x)$

gilt bis auf eine $\nu$-Nullmenge. Dabei ist $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\nu }(x)$ die Radon-Nikodým-Ableitung von $P$ bezüglich $\nu$.

Für Statistiken

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist eine Statistik

$T:(\mathrm{\Omega },𝒜)\to ({\mathrm{\Omega }}^{*},{𝒜}^{*})$

suffizient genau dann, wenn eine $𝒜-ℬ([0,\mathrm{\infty }))$-messbare Funktion $h$ existiert und für jedes $P\in 𝒫$ eine ${𝒜}^{*}-ℬ([0,\mathrm{\infty }))$-messbare Funktion $f_P$ existiert, so dass

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\nu }(x)=h(x)\cdot f_P(T(x))$

gilt bis auf eine $\nu$-Nullmenge. Dies folgt aus dem Faktorisierungslemma und der Tatsache, dass $T$ eine suffiziente Statistik ist genau dann, wenn $\sigma (T)$ eine suffiziente σ-Algebra ist.

Beispiel: Suffizienz der Exponentialfamilie

Per Definition hat für die Exponentialfamilie $𝒫$ bezüglich $\mu$ jedes $P\in 𝒫$ die Dichtefunktion

$f_{\vartheta }(x)=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\mu }(x)=C(\vartheta )h(x)\exp (⟨Q(\vartheta );T(x)⟩)$

Dies ist aber bereits genau die oben geforderte Zerlegung. $h$ und $T$ sind bereits korrekt, man setzt dann nur noch

$f_P(y)={\tilde{f}}_{\vartheta }(y)=C(\vartheta )\exp (⟨Q(\vartheta );y⟩)$

um zu zeigen, dass $T$ eine suffiziente Statistik für die Exponentialfamilie ist.

Literatur

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