Satz von Euler (Vierecksgeometrie)

Der Satz von Euler der Vierecksgeometrie ist ein geometrischer Lehrsatz, der eine grundlegende Identitätsgleichung über den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen eines Vierecks und den Längen seiner beiden Diagonalen angibt. Der Satz ist einer der vielen Beiträge des großen Schweizer Mathematikers Leonhard Euler zur Elementargeometrie.

Formulierung des Satzes

Bild zum Eulerviereck

Der Satz lautet wie folgt:

Gegeben sei ein konvexes Viereck   $◻ABCD$   der euklidischen Ebene.

Auf den beiden Diagonalen   $AC=e$   und   $BD=f$   seien   $M$   bzw.   $N$   die beiden Mittelpunkte.

Dann gilt:

$|AB{|}^2+|BC{|}^2+|CD{|}^2+|AD{|}^2=|AC{|}^2+|BD{|}^2+4\cdot |MN{|}^2$

oder

$a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4\cdot g^2$ .

Folgerung

Aus dem Satz von Euler folgt unmittelbar die bekannte Parallelogrammgleichung.

Denn im Falle, dass   $◻ABCD$   ein Parallelogramm ist, folgt   $M=N$  , also   $|MN|=g=0$  , sowie   $|AB|=|CD|=a=c$   und   $|BC|=|AD|=b=d$   und damit   $2\cdot (|AB{|}^2+|BC{|}^2)=|AC{|}^2+|BD{|}^2$ oder $2\cdot (a^2+c^2)=e^2+f^2$ .

Hilfssatz

Bild zum Dreieck

Der Satz von Euler lässt sich unter Zuhilfenahme des folgenden Hilfssatzes herleiten:

Für ein Dreieck   $\mathrm{△}ABC$   der euklidischen Ebene, dessen Seite   $BC$   den Mittelpunkt   $M$   hat, gilt stets:

$|AB{|}^2+|AC{|}^2=2\cdot (|AM{|}^2+|BM{|}^2)=2\cdot (|AM{|}^2+|CM{|}^2)$

oder

$b^2+c^2=2\cdot \left[{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+e^2\right]$  .

Die soeben genannte Gleichung – welche offenbar eine andere Version der Apollonios-Gleichung darstellt – wurde schon von Apollonios von Perge angegeben. Sie ist auch bei Pappus Alexandrinus zu finden.

Literatur

• Vorlage:Literatur