Satz von Dold

In der Mathematik ist der Satz von Dold eine Verallgemeinerung des Satzes von Borsuk-Ulam, der zahlreiche Anwendungen in der topologischen Kombinatorik besitzt.

Satz von Dold

Wenn eine stetige Abbildung

$f:S^m\to S^n$

äquivariant für freie Wirkungen einer nichttrivialen endlichen Gruppe auf den Sphären $S^m$ und $S^n$ ist, dann ist

$n\ge m$.

Wenn $n=m$ ist, dann ist $f$ nicht nullhomotop.

Spezialfall: Satz von Borsuk-Ulam

Wenn man $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ und ihre Wirkung per Antipodenabbildung

$x\to -x$

auf $S^m$ und $S^n$ betrachtet, dann erhält man aus dem Satz von Dold die folgende Variante des Satzes von Borsuk-Ulam.

Für $m>n$ gibt es keine stetige Abbildung

$f:S^m\to S^n$,

die

$f(-x)=-f(x)$

für alle $x\in S^m$ erfüllt.

Verallgemeinerung

Eine nichttriviale endliche Gruppe $G$ wirke auf einem Raum $X$ und frei auf einem Raum $Y$.

Für die Dimension $n:=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(Y)$ gelte ${\pi }_{0}X={\pi }_{1}X=\dots ={\pi }_{n-1}X={\pi }_{n}X=0$.

Dann gibt es keine stetige $G$-äquivariante Abbildung $f:X\to Y$.

Geschichte

Der Satz wurde 1983 von Albrecht Dold veröffentlicht. Die Verallgemeinerung (unter der Annahme, dass auch die Wirkung auf $X$ frei ist) wurde ebenfalls von Dold mit der Bemerkung "Essentially the same proof gives the following result." formuliert. Er bemerkte weiterhin, dass für $Y$ parakompakt und $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(Y)=1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}(X)<\mathrm{\infty }$ eine äquivariante stetige Abbildung nicht nullhomotop sein kann.

Ein Beweis der Verallgemeinerung findet sich in .

Literatur

• Albrecht Dold: Simple proofs of some Borsuk-Ulam results. Proceedings of the Northwestern Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982), 65–69, Contemp. Math., 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983. online
• Pavle Blagojević, Aleksandra Dimitrijević Blagojević, John McCleary: Spectral sequences in combinatorial geometry: cheeses, inscribed sets, and Borsuk-Ulam type theorems. Topology Appl. 158 (2011), no. 15, 1920–1936. online