Satz von Cochran

In der Statistik wird der Satz von Cochran in der Varianzanalyse verwendet. Der Satz geht auf den schottischen Mathematiker William Gemmell Cochran zurück.

Man nimmt an $U_1,\dots U_n,$ seien stochastisch unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen, und es gilt

$\sum _{i=1}^n{U}_i^2=Q_1+\cdots +Q_k,$

wobei jedes $Q_i$ die Summe der Quadrate von Linearkombinationen der $U$s darstellt. Ferner nimmt man an, dass

$r_1+\cdots +r_k=n,$

wobei $r_i$ der Rang von $Q_i$ ist. Der Satz von Cochran besagt, dass die $Q_i$ unabhängig sind mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit $r_i$ Freiheitsgraden.

Der Satz von Cochran ist die Umkehrung des Satzes von Fisher.

Beispiel

Falls $X_1,\dots X_n,$ unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ sind, dann gilt

$U_i=(X_i-\mu )/\sigma$

ist standardnormalverteilt für jedes $i$.

Jetzt kann man folgendes schreiben

$\sum _{i=1}^n{U}_i^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma }\right)}^2+n{\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma }\right)}^2$

Damit man diese Identität erkennt, muss man auf beiden Seiten mit $\sigma$ multiplizieren und beachten, dass gilt

$\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}+\bar{X}-\mu {)}^2$

und erweitert, um zu zeigen

$\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2+\sum _{i=1}^n(\bar{X}-\mu {)}^2+2\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X})(\bar{X}-\mu ).$

Der dritte Term ist null, weil der Faktor

$\sum _{i=1}^n(\bar{X}-X_i)=0$

ist, und der zweite Term besteht nur aus $n$ identischen Termen, die zusammengefügt wurden.

Kombiniert man die obigen Ergebnisse und teilt anschließend durch ${\sigma }^2$, dann erhält man:

$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma }\right)}^2+n{\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma }\right)}^2=Q_1+Q_2.$

Jetzt ist der Rang von $Q_2$ gerade gleich 1 (es ist das Quadrat von nur einer Linearkombination der standardnormalverteilten Zufallsvariablen). Der Rang von $Q_1$ ist gleich $n-1$, und daher sind die Bedingungen des Satzes von Cochran erfüllt.

Der Satz von Cochran besagt dann, dass $Q_1$ und $Q_2$ unabhängig sind, mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit $n-1$ und $1$ Freiheitsgrad.

Dies zeigt, dass der Mittelwert und die Varianz unabhängig sind; Ferner gilt

$(\bar{X}-\mu {)}^2\sim \frac{{\sigma }^2}{n}{\chi }_1^2.$

Um die unbekannte Varianz der Grundgesamtheit ${\sigma }^2$ zu schätzen, wird ein häufig verwendeter Schätzer benutzt

${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(X_i-\bar{X})}^2.$

Der Satz von Cochran zeigt, dass

${\hat{\sigma }}^2\sim \frac{{\sigma }^2}{n}{\chi }_{n-1}^2,$

was zeigt, dass der Erwartungswert von ${\hat{\sigma }}^2$ gleich ${\sigma }^2\frac{n-1}{n}$ ist.

Beide Verteilungen sind proportional zur wahren aber unbekannten Varianz ${\sigma }^2$ Daher ist ihr Verhältnis unabhängig von ${\sigma }^2$, und weil sie unabhängig sind, erhält man

$\frac{{(\bar{X}-\mu )}^2}{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(X_i-\bar{X})}^2}\sim F_{1,n}$,

wobei $F_{1,n}$ die F-Verteilung mit $1$ und $n$ Freiheitsgraden darstellt (siehe auch Studentsche t-Verteilung).

Literatur

• Cochran, W. G.: The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2): 178–191, 1934.
• Bapat, R. B.: Linear Algebra and Linear Models. Zweite Auflage (1990). Springer. ISBN 978-0-387-98871-9