Satz von Atiyah-Jänich

Der Satz von Atiyah-Jänich ist ein Lehrsatz aus der Funktionalanalysis. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Fredholm-Operatoren und K-Theorie her.

Raum der Fredholm-Operatoren und Index-Abbildung

Es sei $ℋ$ der (bis auf Isomorphie eindeutige) unendlich-dimensionale separable Hilbertraum und $ℱ$ der Raum der beschränkten Fredholm-Operatoren auf $ℋ$ mit der Operatornorm-Topologie.

Für einen kompakten Raum $X$ bezeichne $K (X)$ seine topologische K-Theorie. Elemente in $K (X)$ werden durch formale Differenzen

[E_{0}] - [E_{1}]

,

von Vektorbündeln über $X$ repräsentiert. Wir wollen einer stetigen Abbildung $F : X \to ℱ$ ein solches Element aus $K (X)$ zuordnen.

Für eine stetige Abbildung $F : X \to ℱ$ hat man in jedem Punkt $x \in X$ die endlich-dimensionalen Vektorräume

k e r (F (x))

und

c o k e r (F (x))

, das heißt Kern und Kokern des Operators

F (x)

.

Im Allgemeinen ist es möglich, dass die Dimension dieser Vektorräume in einzelnen Punkten $x \in X$ unstetig ist. Jedoch ist jede Abbildung $F$ homotop zu einer stetigen Abbildung $F^{'}$ , für die

(k e r (F^{'} (x)))_{x \in X}

und

(c o k e r (F^{'} (x)))_{x \in X}

konstante Dimension haben und Untervektorbündel von $X \times ℋ$ sind, das heißt wir haben ein Element

[(k e r (F^{'} (x)))_{x \in X}] - [(c o k e r (F^{'} (x)))_{x \in X}] \in K (X)

.

Weiterhin hängt dieses Element nicht davon ab, welche zu $F$ homotope Abbildung $F^{'}$ verwendet wird.

Daher definiert diese Konstruktion eine Abbildung

i n d : [X, ℱ] \to K (X)

von der Menge der Homotopieklassen $[X, ℱ]$ von Abbildungen von $X$ nach $ℱ$ in $K (X)$ . Sie heißt Indexabbildung und die formale Differenz $[(k e r (F^{'} (x)))_{x \in X}] - [(c o k e r (F^{'} (x)))_{x \in X}]$ heißt Indexbündel.