Rossi-Verteilung

Die Rossi-Verteilung ist die Verteilung des Maximums von zwei stochastisch unabhängigen Gumbel-verteilten Zufallsvariablen. Da die Gumbelverteilung eine Extremwertverteilung vom Typ I ist, die als Grenzverteilung des Maximums stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen auftritt, kann die Rossi-Verteilung als eine Extremwertverteilung in einem weiteren Sinn aufgefasst werden. Sie wird auch als Zwei-Komponenten-Extremwertverteilung (engl. two component extreme value distribution, TCEV) bezeichnet.

Sie wird vor allem in der Hochwasseranalyse verwendet, wenn zwei Einflussfaktoren mit jeweils eigenen Extremwertverteilungen vorliegen.

Definition

Eine stetige reellwertige Zufallsvariable $X$ genügt einer Rossi-Verteilung mit den Parametern $c_1\in ℝ,c_2\in ℝ,d_1>0,d_2>0$, wenn sie die Verteilungsfunktion

$F(x)=\exp (-e^{-\frac{x-c_1}{d_1}})\exp (-e^{-\frac{x-c_2}{d_2}})\text{für }x\in ℝ$

besitzt.

Eigenschaften

Die oben angegebene Verteilungsfunktion $F$ einer Rossi-Verteilung ist das Produkt von zwei Verteilungsfunktionen

$F_j(x)=\exp (-e^{-\frac{x-c_j}{d_j}}),j=1,2,$

die jeweils zu einer Gumbel-Verteilung mit dem Lageparameter $c_j$ und dem Skalenparameter $d_j$ gehören. Für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ mit den Verteilungsfunktion $F_1$ und $F_2$ hat die Zufallsvariable $X=\max \{X_1,X_2\}$ die Verteilungsfunktion $F=F_1{F}_2$, da

$F(x)=P(X\le x)=P(\max \{X_1,X_2\}\le x)=P(X_1\le x,X_2\le x)=P(X_1\le x)P(X_2\le x)=F_1(x)F_2(x)$.

Die Rossi-Verteilung ist also die Verteilung des Maximums von zwei stochastisch unabhängigen Gumbel-verteilten Zufallsvariablen.

Eine Rossi-verteilte Zufallsvariable hat die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=(\frac{1}{d_1}{e}^{\frac{x-c_1}{d_1}}+\frac{1}{d_2}{e}^{\frac{x-c_2}{d_2}})\exp (-e^{-\frac{x-c_1}{d_1}})\exp (-e^{-\frac{x-c_2}{d_2}})\text{für }x\in ℝ.$

Es wird auch die alternative Parametrisierung

$F(x)=\exp (-{\lambda }_1{e}^{-\frac{x}{d_1}}-{\lambda }_2{e}^{-\frac{x}{d_2}})$

mit den Parametern ${\lambda }_1>0,{\lambda }_2>0,d_1>0,d_2>0$ verwendet, die sich mit ${\lambda }_j=\exp (c_j/d_j)$ für $j=1,2$ ergibt.